Phương trình bậc nhất một ẩn là gì? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về phương trình bậc nhất một ẩn như nào? Cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung bài viết
Lý thuyết mở đầu về phương trình
Tổng quát phương trình một ẩn
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng (P(x)=Q(x)) ((x)) là ẩn, trong đó vế trái và vế phải là hai biểu thức của cùng một biến (x).
(x) được gọi là nghiệm của phương trình nếu (P(x)=Q(x)) là một đẳng thức đúng.
Một phương trình có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm,… hay không có nghiệm (vô nghiệm). Giải phương trình là thực hiện tìm tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của phương trình đó.
Hai phương trình tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau. Quy tắc biến một phương trình thành 1 phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
Quy tắc biến đổi phương trình
- Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình (ax+b=0), với (a) và (b) là hai số đã cho, (aneq 0), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Giải phương trình bậc nhất một ẩn (ax+b=0)
Gồm 3 bước như sau:
- Bước 1: Chuyển vế (ax=-b)
- Bước 2: Chia hai vế cho số (a (aneq 0): x=frac{-b}{a})
- Bước 3: Kết luận nghiệm: (S=left { frac{-b}{a} right })
Hay có thể trình bày ngắn gọn như sau:
(ax+b=0Leftrightarrow ax=-bLeftrightarrow x=frac{-b}{a})
Vậy tập nghiệm của phương trình là (S=left { frac{-b}{a} right })
Nhận xét: Từ một phương trình cụ thể, khi dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân với một số, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Nâng cao cho phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn (ax+b=0)
Với (aneq 0), phương trình có nghiệm duy nhất (x=frac{-b}{a})
(a= 0), phương trình có dạng (0x=-b)
Nếu (b= 0) thì phương trình vô số nghiệm
Nếu (bneq 0) thì phương trình vô nghiệm
- Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là thực hiện giải phương trình đó tùy theo các sở trường về giá trị của m.
(hinh anh 2)
Bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn
Dạng 1: Xét một số có phải nghiệm của phương trình hay không
Ví dụ: Hãy xét xem (x=-3) có phải là nghiệm của phương trình (x^{2}-3=2x+12) hay không?
Giải:
Thay (x=-3) vào phương trình, ta được:
((-3)^{2}-3=2(-3)+12Leftrightarrow 6=6) ( đẳng thức đúng)
Kết luận: (x=-3) là nghiệm của phương trình.
Nhận xét: Để giải quyết bài toán yêu cầu xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không, ta thay số đó vào phương trình đã cho. Nếu kết quả là một đẳng thức đúng thì số đó là nghiệm của phương trình; trường hợp ngược lại, thì số đã cho đó không phải là nghiệm.
Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng (ax+b=0)
Ví dụ: Giải phương trình (2x(x-5)+21=x(2x+1)-12)
Giải:
Ta có: (2x(x-5)+21=x(2x+1)-12 Leftrightarrow 2x^{2} -10x+21=2x^{2}+x-12Leftrightarrow2x^{2}-10x-2x^{2}-x=-12-21Leftrightarrow -11x=-33Leftrightarrow x=3)
Vậy phương trình có tập nghiệm (S=left { 3 right })
Dạng 3: Xét 2 phương trình có tương đương hay không
Ví dụ: Tìm m để hai phương trình sau tương đương
(x-m=0 (1))
(mx-9=0(2))
Giải:
Phương trình (1): (x-m=0Leftrightarrow x=m). Suy ra phương trình có 1 nghiệm duy nhất là (x=m)
Vì 2 phương trình tương đương nên (x=m) cũng là nghiệm của phương trình (2): (m.m-9=0Leftrightarrow m^{2}=3^{2}Leftrightarrow m=pm 3)
Thử lại:
- Với (m=3): có phương trình (1): (x-3=0)
và phương trình (2): (3x-9=0)
có cùng tập nghiệm (S=left { 3 right })
Vậy (m=3) thỏa mãn.
- Với (m=-3), ta có phương trình (1): (x+3=0)
và phương trình (2): ((-3x)-9=0)
có cùng tập nghiệm (S=left {- 3 right })
Vậy (m=-3) thỏa mãn.
Kết luận: Có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài ra là -3 và 3.
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình (ax+b=0)
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình ((m-3)x=m^{2}-3m)
Giải:
Ta có: ((m-3)x=m^{2}-3mLeftrightarrow (m-3)x=m(m-3))
- Khi ((m-3)neq 0Leftrightarrow mneq 3), phương trình có nghiệm duy nhất là (x=frac{m(m-3)}{m-3}=m)
- Khi ((m-3)=0Leftrightarrow m= 3), ta có phương trình (0.x=0), phương trình đúng với mọi x.
Kết luận:
Nếu (mneq 3) thì phương trình có tập nghiệm (S=left { m right })
Nếu (m=3) thì phương trình có tập nghiệm là (mathbb{R})
Xem thêm:
- Định nghĩa về số chính phương là gì? Dấu hiệu, Tính chất, Bài tập số chính phương
- Hàm số mũ là gì? Định nghĩa và Tính chất của hàm số mũ
- Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức
Trên đây là tổng hợp kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn, định nghĩa, lý thuyết, nâng cao cũng như các dạng bài tập liên quan. Hy vọng qua chủ đề phương trình bậc nhất một ẩn đã hữu ích cho bạn trong quá trình tìm tòi học tập của bản thân. Chúc bạn luôn học tốt!
