Phương pháp giải bài toán tìm Min Max số phức cùng các dạng bài tập

Min Max số phức là một dạng toán khó trong các bài toán thi THPT Quốc gia. Vậy số phức là gì? Bài toán tìm gtln gtnn của số phức? Cách tìm môđun nhỏ nhất của số phức? Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Casio? Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề  trên, cùng tìm hiểu nhé!. 

Lý thuyết số phức là gì?

Định nghĩa số phức là gì?

Biểu thức dạng 𝑎+𝑏𝑖 với 𝑎;𝑏∈ℝ và 𝑖2=−1 được gọi là một số phức với 𝑎 là phần thực và 𝑏 là phần ảo.

Mô đun của số phức

Mô đun của số phức 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 là số thực không âm 𝑎2+𝑏2‾‾‾‾‾‾‾√ và được kí hiệu là |𝑧|

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Mô đun của số phức
Mô đun của số phức

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Bài toán tìm GTLN GTNN của số phức

Để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN của số phức (min max số phức), ta cần sử dụng một số Bất đẳng thức quan trọng sau đây :

Bất đẳng thức 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

𝑥+𝑦≥2𝑥𝑦‾‾‾√ với 𝑥;𝑦≥0

Dấu “=” xảy ra khi 𝑥=𝑦≥0

Bất đẳng thức 𝐵𝑢𝑛ℎ𝑖𝑎𝑐𝑜𝑝𝑥𝑘𝑖

(𝑎2+𝑏2)(𝑚2+𝑛2)≥(𝑎𝑚+𝑏𝑛)2

Dấu “=” xảy ra khi 𝑎𝑚=𝑏𝑛

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

||𝑧1|−|𝑧2||≤|𝑧1±𝑧2|≤|𝑧1|+|𝑧2|

Cách tìm GTLN GTNN trong min max số phức

Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Với những dạng bài min max số phức này, từ điều kiện đã cho, chúng ta sử dụng các Bất đẳng thức nêu trên (thường sử dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối) để giải quyết

Ví dụ:

Cho số phức 𝑧 thỏa mãn : |𝑧−2+2𝑖|=1. Tìm giá trị lớn nhất của |𝑧|

Cách giải:

Áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, ta có :

1=|𝑧−2+2𝑖|≥|𝑧|−|2𝑖−2|⇔|𝑧|≤1+|2𝑖−2|=1+22‾√

Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Để giải dạng toán min max số phức của một biểu thức số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, chúng ta giải theo các bước sau :

  • Bước 1: Gọi số phức 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 với 𝑎;𝑏∈ℝ
  • Bước 2: Thay vào biểu thức đã cho và tìm mối quan hệ giữa 𝑎;𝑏
  • Bước 3: Biến đổi biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo 𝑎;𝑏
  • Bước 4: Tìm GTLN, GTNN dựa vào quan hệ 𝑎;𝑏

Ví dụ:

Cho hai số phức 𝑧1;𝑧2 thỏa mãn 𝑧1+𝑧2|=3 và |𝑧1−𝑧2|=1. Tìm GTLN của biểu thức 𝑃=|𝑧1|+|𝑧2|

Cách giải:

Đặt 𝑧1=𝑎1+𝑏1𝑖;𝑧2=𝑎2+𝑏2𝑖. Thay vào ta được :

{|(𝑎1+𝑎2)+(𝑏1+𝑏2)𝑖|=3|(𝑎1−𝑎2)+(𝑏1−𝑏2)𝑖|=1⇔{(𝑎1+𝑎2)2+(𝑏1+𝑏2)2=9(𝑎1−𝑎2)2+(𝑏1−𝑏2)2=1

Khai triển, cộng hai phương trình ta được :

𝑎21+𝑎22+𝑏21+𝑏22=5

Ta có:

|𝑧1|+|𝑧2|=𝑎21+𝑏21‾‾‾‾‾‾‾√+𝑎22+𝑏22‾‾‾‾‾‾‾√

Áp dụng Bất đẳng thức 𝐵𝑢𝑛ℎ𝑖𝑎𝑐𝑜𝑝𝑥𝑘𝑖 ta có :

𝑃2=(1.𝑎21+𝑏21‾‾‾‾‾‾‾√+1.𝑎22+𝑏22‾‾‾‾‾‾‾√)2≤(1+1).(𝑎21+𝑎22+𝑏21+𝑏22)=10

⇒𝑃≤10‾‾‾√

Tìm GTLN, GTNN của số phức bằng Casio

Trong các bài toán trắc nghiệm, để tìm min max số phức, ta sử dụng máy tính Casio để giải theo các bước sau :

  • Bước 1: Gọi số phức 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 với 𝑥;𝑦∈ℝ
  • Bước 2: Thay vào điều kiện ban đầu, rút 𝑦 theo 𝑥. Tìm khoảng xác định của 𝑥
  • Bước 3: Thay vào biểu thức cần tính GTLN, GTNN rồi đưa biểu thức về dạng hàm số của 𝑥
  • Bước 4: Sử dụng tính năng TABLE của máy tính để tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Ví dụ:

Cho số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|=5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : 𝑃=3|𝑧−2|+|𝑧−3𝑖|

Cách giải

Đặt 𝑧=𝑥+𝑦𝑖

Vì |𝑧|=5⇒𝑎2+𝑏2=25⇒{𝑏=25−𝑥2‾‾‾‾‾‾‾‾√𝑎∈[−5;5]

Thay vào ta được:

𝑃=3|𝑧−2|+|𝑧−3𝑖|=3(𝑥−2)2+𝑦2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√+𝑥2+(𝑦−3)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

=3(𝑥−2)2+25−𝑥2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√+𝑥2+(25−𝑥2‾‾‾‾‾‾‾‾√−3)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

Vậy ta cần tìm GTLN,GTNN của hàm số 𝑓(𝑥)=3(𝑥−2)2+25−𝑥2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√+𝑥2+(25−𝑥2‾‾‾‾‾‾‾‾√−3)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ với 𝑥∈[−5;5]

Ta vào tính năng TABLE của máy tính bằng cách bấm 𝑀𝑜𝑑𝑒→7

Ta nhập hàm số trên vào máy tính:

𝑆𝑡𝑎𝑟𝑡 ta nhập −5

𝐸𝑛𝑑 ta nhập 5

𝑆𝑡𝑒𝑝 ta nhập 0,5

Ta thấy hàm số đạt GTLN là 26.83=21+34‾‾‾√ khi 𝑥=−5

Ta thấy hàm số đạt GTLN là 26.83=21+34‾‾‾√ khi 𝑥=−5
Ta thấy hàm số đạt GTLN là 26.83=21+34‾‾‾√ khi 𝑥=−5

Ta thấy hàm số đạt GTNN là 14.83=9+34‾‾‾√ khi 𝑥=5

Ta thấy hàm số đạt GTNN là 14.83=9+34‾‾‾√ khi 𝑥=5
Ta thấy hàm số đạt GTNN là 14.83=9+34‾‾‾√ khi 𝑥=5

***Chú ý: Chúng ta làm tròn kết quả ở máy tính bằng cách thử từng đáp án trong đề thi xem kết quả giống với đáp án nào.

Các dạng bài tập số phức vận dụng cao

Đây là những bài toán chúng ta chuyển từ số phức sang biểu diễn hình học rồi tìm cực trị của các biểu thức hình học đó.Nhắc lại về một số biểu diễn hình học của số phức:

Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 , mỗi số phức 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 với 𝑎;𝑏∈ℝ được biểu diễn bởi điểm 𝑀  có tọa độ là (𝑎;𝑏)

Như vậy ta có một số tính chất:

  • 𝑂𝑀=𝑎2+𝑏2‾‾‾‾‾‾‾√=|𝑧|
  • 𝑀1𝑀2=(𝑎1−𝑎2)2+(𝑏1−𝑏2)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=|𝑧1−𝑧2|

Tùy thuộc bài toán thì chúng ta có thể chuyển về phương trình đường thẳng, phương trình Elip hay đường tròn. Và từ đó, ta có một số công thức tính nhanh sau đây, áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm :

Bài toán: Cho số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧−𝑧1|+|𝑧−𝑧2|=2𝑎. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 𝑃=|𝑧−𝑧0| với 𝑧0;𝑧1;𝑧2 cho trước

Ta có một số kết quả sau:

Đặt |𝑧1−𝑧2|=2𝑐;𝑏=𝑎2−𝑐2‾‾‾‾‾‾‾√ thì:

Ví dụ:Visit AMP

Cho số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧−1+3𝑖|+|𝑧+2−𝑖|=8. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :𝑃=|2𝑧+1+2𝑖|

Cách giải:

Ta có:

𝑃2=|𝑧+12+𝑖|

Mặt khác 12+𝑖=(−1+3𝑖)+(2−𝑖)2

Vậy trong bài toán này 𝑧0=𝑧1+𝑧22

𝑐=|𝑧1−𝑧2|2=52

𝑎=4⇒𝑏=𝑎2−𝑐2‾‾‾‾‾‾‾√=39√2

Áp dụng công thức trên ta được:

𝑃max=2𝑎=8

𝑃min=2𝑏=39‾‾‾√

Các dạng bài tập số phức vận dụng cao
Các dạng bài tập số phức vận dụng cao

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán tìm Min Max số phức. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề Min Max số phức. Nếu có bất cứ câu hỏi, thắc mắc hay đóng góp gì liên quan đến chủ đề Min Max số phức, đừng quên để lại nhận xét bên dưới nhé. Nếu thấy hay thì share nha bạn! Chúc bạn luôn học tốt!.

Leave a Reply

Your email address will not be published.