Hình thang cân là gì? Chứng minh hình thang cân? Lý thuyết và cách giải các dạng toán liên quan đến hình thang cân? Dấu hiệu nhận biết hình thang cân như nào? Cách chứng minh một tứ giác là hình thang cân? Cùng Dinhnghia.com.vn tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!
Nội dung bài viết
Hình thang là gì?
Hình thang là một loại hình học quan trọng, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm hình học, hình học không gian, hình học ứng dụng cũng như trong các bài toán tính toán và trong đời sống hàng ngày.
Hình thang được định nghĩa là hình tứ giác có 2 cạnh đối song song và 2 cạnh này được gọi là 2 cạnh đáy, 2 cạnh còn lại là 2 cạnh bên của hình thang.
Chiều cao của hình thang được kẻ từ đỉnh vuông góc đến cạnh đáy lớn nhất. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng được nối giữa trung điểm hai cạnh bên.
Công thức tính:
- Diện tích hình thang: Diện tích = (Đáy lớn + Đáy nhỏ) * Chiều cao / 2
- Chu vi hình thang: Chu vi = Đáy lớn + Đáy nhỏ + Độ dài 2 cạnh hai bên.
Hình thang cân là gì?
Hình thang cân là một loại hình thang đặc biệt. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Ví dụ: Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD) ⇔ AB // CD
Suy ra: Góc A = góc B; góc C = góc D
Tính chất của hình thang cân
- Tính chất 1: Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.
- Tính chất 2: Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
- Tính chất 3: Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
- Tính chất 4: Hình thang cân luôn nội tiếp được trong một đường tròn.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
Để nhận biết hình thang cân, bạn có thể xét đến một số dấu hiệu sau đây:
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang cân có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau.
- Hai nửa của hình thang cân là hoàn toàn đối xứng với nhau thông qua trung điểm của 2 cạnh đáy này.
- Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau (điều kiện 2 cạnh bên không song song với nhau)
Lưu ý: Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.
Diện tích hình thang cân
Diện tích hình thang cân có công thức tính giống với diện tích hình thang thường.
Công thức: S = (a + b) * h / 2
Trong đó:
- S là diện tích hình thang
- a và b là độ dài của hai cạnh đáy của hình thang cân (đáy lớn và đáy nhỏ).
- h là chiều cao của hình thang, là khoảng cách vuông góc giữa hai cạnh đáy.
Ví dụ: Ta có hình thang cân với đáy lớn a = 6 đơn vị, đáy nhỏ b = 4 đơn vị và chiều cao h = 5 đơn vị, thì diện tích của hình thang là:
S = (6 + 4) * 5 / 2
S = 10 * 5 / 2
S = 50 / 2
S = 25 đơn vị diện tích
Chu vi hình thang cân
Để tính chu vi hình thang cân, trước hết ta cần biết độ dài hai cạnh đáy (a và b) và độ dài hai cạnh bên (c và d) của hình thang, hoặc có thể tính dựa trên chiều cao (h) của hình thang. Sau đây là 2 cách tính chu vi hình thang cân:
- Dựa trên các cạnh: Chu vi (P) của hình thang cân có thể tính bằng cách cộng độ dài của tất cả các cạnh lại với nhau:
Công thức: P = a + b + c + d
Ví dụ: Cho hình thang cân với các cạnh như sau: a = 6 đơn vị (đáy lớn), b = 4 đơn vị (đáy nhỏ), c = 5 đơn vị (cạnh bên), d = 5 đơn vị (cạnh bên), thì chu vi (P) của hình thang là:
P = a + b + c + d = 6 + 4 + 5 + 5 = 20 đơn vị
- Dựa trên chiều cao: Chu vi (P) của hình thang cân cũng có thể tính dựa trên chiều cao (h) và độ dài của hai cạnh đáy (a và b) như sau:
Công thức: P = (a + b) + 2 * √((h^2 + (a – b)^2) / 4)
Ví dụ: Ta có hình thang cân với đáy lớn a = 8 đơn vị, đáy nhỏ b = 4 đơn vị và chiều cao h = 6 đơn vị, thì chu vi của hình thang là:
P = (8 + 4) + 2 * √((6^2 + (8 – 4)^2) / 4)
= 12 + 2 * √((36 + 16) / 4)
P = 12 + 2 * √13 ≈ 12 + 7.21 ≈ 19.21 đơn vị
Phương pháp chứng minh hình thang cân
Trước hết, ta cần chứng minh tứ giác đó là hình thang bằng cách chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau, dựa vào các cách chứng minh song song như: Hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song.
Chứng minh hình thang là hình theo cân theo một trong hai phương pháp sau:
- Phương pháp 1: Chứng minh hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
- Phương pháp 2: Chứng minh hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
Ứng dụng của hình thang cân trong đời sống
Nhìn chung, hình thang cân không chỉ có giá trị lý thuyết trong hình học mà còn có rất nhiều ứng dụng trong đời sống. Chẳng hạn như trong đời sống, ta dễ dàng bắt gặp hình thang cân thông qua các vật dụng như đồ chơi, túi xách, hộp bút, cái bàn,… và cùng nhiều vật dụng phổ biến khác.
Một số bài tập về hình thang cân
Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB < CD). Kẻ đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
Cách giải: Xét hai tam giác vuông AED và BFC
- Ta có: AD = BC (gt); (góc D = góc C) (gt)
Nên (∆ AED = ∆ BFC) (cạnh huyền – góc nhọn) (=> DE=CF)
Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
Cách giải: Do ABCD là hình thang cân nên: AD = BC; AC = BD
Xét (∆ ADC và ∆ BDC) có DC chung; AD = BC; AC = BD
(=> ∆ ADC = ∆ BDC) (c.c.c)
(=> góc DCA = góc CDB)
(=> ∆ DEC) cân tại E
(=> EC = ED (đpcm)
Chứng minh tương tự ta được EA = EB
Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Cách giải: Xét (∆ AEB và ∆ AFC) có: AB = AC (do (∆ ABC) cân tại A)
(góc ABE = căn bậc hai góc ABC = căn bậc hai góc ACB =góc ACF)
(góc BAC) chung
(=> ∆ AEB = ∆ AFC) (g.c.g)
(=> AE = AF)
(=> ∆ AEF) cân tại A
(=> góc AFE = (180 mũ xấp xỉ – góc BAC)/2)
Trong tam giác ABC có:
(=> Góc ABC = (180 mũ xấp xỉ – góc BAC)/2)
(=> Góc AFE = góc ABC => FE // BC)
=> Tứ giác BFEC là hình thang.
Xem thêm:
- Định nghĩa hình tứ giác, các hình tứ giác phổ biến và đặc điểm
- Hình chữ nhật là gì? Công thức tính chu vi và diện tích hình chữ nhật
- Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề chứng minh hình thang cân. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức về hình thang cân. Chúc bạn luôn học tốt!
