Hệ tọa độ trong không gian là gì? Công thức và Bài tập ví dụ

Toán họcHệ tọa độ trong không gian là gì? Công thức và Bài...

Ngày đăng:

0
(0)

Bên cạnh những bài toán rất hay về hình học phẳng ở lớp 10 thì hệ tọa độ trong không gian lớp 12 cũng là dạng toán vô cùng thú vị và không quá khó nhằn mà chúng ta không nên bỏ qua. Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN khám phá và tổng hợp những kiến thức quan trọng nhất về hệ tọa độ trong không gian nhé!

Hệ tọa độ trong không gian là gì? Định nghĩa hệ tọa độ trong không gian

Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Hình ảnh minh họa hệ tọa độ trong không gian được thể hiện cụ thể dưới đây:

Hệ tọa độ trong không gian
Hệ tọa độ trong không gian

Thuật ngữ và kí hiệu hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, như định nghĩa trên, kí hiệu là Oxyz. Với

  • O(0;0;0) là gốc tọa độ.
  • Các trục tọa độ: Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao
  • (vec{i},vec{j},vec{k}) được gọi là các vecto đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz và đôi một vuông góc.

(vec{i}=(1;0;0),vec{j}=(0;1;0),vec{k}=(0;0;1))

Chú ý: (vec{i}^{2}=vec{j}^{2}=vec{k}^{2}=1)

(vec{i}.vec{j}=vec{j}.vec{k}=vec{k}.vec{i}=0)

  • Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, kí hiệu là (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau.

Tọa độ của điểm

(overrightarrow{OM}=xvec{i}+yvec{j}+zvec{k}Leftrightarrow M(x;y;z))

Trong đó:

  • x gọi là hoành độ
  • y gọi là tung độ,
  • z gọi là cao độ của điểm M
Tọa độ của điểm
Tọa độ của điểm

Xem thêm:

Tọa độ của vecto

(vec{a}=a_{1}vec{i}+a_{2}vec{j}+a_{3}vec{k}Leftrightarrow vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}))

Các tính chất hệ tọa độ trong không gian cần nhớ

Cho (vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}), b=(x_{2};y_{2};z_{2})) và số k tùy ý, ta có:

  • Tổng của hai vecto là một vecto

(vec{a}+vec{b}=(x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2};z_{1}+z_{2}))

  • Hiệu của hai vecto là một vecto

(vec{a}-vec{b}=(x_{1}-x_{2};y_{1}-y_{2};z_{1}-z_{2}))

  • Tích của vecto với một số thực là một vecto

(k.vec{a}=(kx_{1};ky_{1};kz_{1}))

  • Độ dài vecto

(left | vec{a} right |=sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2}})

  • Tọa độ vecto không

(vec{0}=(0;0;0))

  • Hai vecto bằng nhau

(vec{a}=vec{b}Leftrightarrowleft{begin{matrix} x_{1} & = & x_{2} y_{1}&= & y_{2} z_{1}& = & z_{2} end{matrix}right.)

  • Tích vô hướng của hai vecto

(vec{a}perpvec{b}Leftrightarrowvec{a}vec{b}=0)

  • Góc giữa hai vecto bằng tích vô hướng chia tích độ dài

(cos(vec{a},vec{b})=frac{vec{a}.vec{b}}{left | vec{a} right |.left | vec{b} right |}=frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}.sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}})

Công thức hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (A(x_{a};y_{a};z_{a}), B(x_{b};y_{b};z_{b})), ta có:

  • Tọa độ (overrightarrow{AB}) là:

(overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}))

  • Độ dài đoạn thẳng AB ( hay khoảng cách giữa hai điểm A và B) được tính bằng độ dài (overrightarrow{AB})

(AB=left | overrightarrow{AB} right |=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}})

  • Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

(left{begin{matrix} x_{I} & = &frac{x_{A}+x_{B}}{2} y_{I} & = & frac{y_{A}+y_{B}}{2} z_{I}& = & frac{z_{A}+z_{B}}{2} end{matrix}right.Rightarrow I=(x_{I};y_{I};z_{I}))

  • Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho (bigtriangleup ABC) với (A(x_{a};y_{a};z_{a}), B(x_{b};y_{b};z_{b})), (C(x_{C};y_{C};z_{C}))

Ta có tọa độ trọng tâm G của (bigtriangleup ABC) là:

(left{begin{matrix} x_{G} & = &frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3} y_{G} & = & frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3} z_{G}& = & frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} end{matrix}right.Rightarrow G=(x_{G};y_{G};z_{G}))

  • Tích vô hướng của hai vecto:

(vec{a}.vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2})

Xem thêm:

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp bạn có được những kiến thức bổ ích cho chương trình toán học trung học phổ thông. Nếu bạn có đóng góp gì hay còn bất cứ câu hỏi nào về bài viết hệ tọa độ trong không gian thì hãy nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

1km2 bằng bao nhiêu hm2? Quy đổi Kilômét vuông sang Héctômét vuông

Ki-lô-mét vuông và héc-tô-mét vuông là đơn vị đo...

Kg/cm2 là gì? Quy đổi kg/cm2 sang kN/m2, MPa, t/m2, psi, kPa, bar

Các đơn vị đo áp suất thường được ứng...

1 hg bằng bao nhiêu kg? Quy đổi từ Héctôgam sang Kilôgam

Đơn vị đo khối lượng hg và kg không...

1kg bằng bao nhiêu tạ, gam, tấn, yến? Cách đổi đơn vị kilogam

Trong cân lường, đơn vị ki-lô-gam thường được chuyển...