bài tập về dấu của tam thức bậc 2

Dấu của tam thức bậc hai là chuyên đề quan trọng có liên quan đến nhiều dạng bài tập trong chương trình toán học trung học cơ sở. Bên cạnh việc ghi nhớ quy tắc “Trong trái ngoài cùng” khi xét dấu của tam thức bậc 2 có hai nghiệm phân nghiệm thì các bạn cũng cần nắm được lý thuyết, ví dụ cũng như các dạng bài tập về chủ đề này. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể hơn nhé!

Kiến thức cơ bản tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là gì?

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức dạng ax^2+bx+c. Trong đó: a, b, c là những số cho trước với a≠0.

Nghiệm của tam thức bậc 2

Nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x)=ax^2+bx+c

  • Δ=b^2−4ac được gọi là biệt thức
  • Δ‘=b′26−ac được gọi là biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x)=ax^2+bx+c.

So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số

So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số
So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số

Tìm hiểu dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát

Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát được thể hiện qua bảng sau:

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai a^2+bx+c

Ta có:

  • a^2+bx+c>0,∀x∈R⇔{a>0; Δ<0
  • a^2+bx+c≥0,∀x∈R⇔{a>0; Δ≤0
  • a^2+bx+c<0,∀x∈R⇔{a<0; Δ<0
  • a^2+bx+c≤0,∀x∈R⇔{a<0; Δ≤0

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Định lý về dấu của tam thức bậc 2 được minh họa bằng đồ thị như sau:

Định lý về dấu của tam thức bậc 2
Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Với định lý thuận về dấu của tam thức bậc 2 là “Trong trái, ngoài cùng”

Có: f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)

Gọi x1,x2 là nghiệm của f(x)=0 thì: S=x1+x2=−b/a; P=x1.x2=c/a

Với 3 trường hợp: Δ<0;Δ=0;Δ>0

Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax^2+bx+c(a≠0). Nếu có số α thỏa mãn af(α)<0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và x1<α<x2

Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai

So sánh nghiệm với 1 số cho trước

  • x1<α<x2⇔af(α)<0
  • α<x1<x2⇔ Δ>0; af(α)>0; S/2−α>0
  • x1<x2<α⇔Δ>0; af(α)>0; S/2−α<0
  • α∉x1;x2⇔{Δ>0; af(α)>0

So sánh nghiệm với 2 số cho trước α<β

  • x1<α<β<x2⇔{af(α)<0; af(β)<0
  • x1<α<x2<β⇔{af(α)<0; af(β)>0
  • α<x1<β<x2⇔{af(α)>0; af(β)<0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (α,β) khi f(α).f(β)<0

Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R

Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R hoặc 1 miền cho trước, ta giải như sau:

f(x)>0,∀x∈R⇔{a>0; Δ<0

f(x)<0,∀x∈R⇔{a<0; Δ<0

f(x)≥0,∀x∈R⇔{a>0; Δ≤0

f(x)≤0,∀x∈R⇔{a<0; Δ≤0

Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm

  • Nếu có α sao cho af(α)<0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
  • Nếu có 2 số α,β sao cho f(α),f(β)<0 thì phương trình f(x)=0 có nghiệm
  • Nếu có 2 số α,β sao cho f(α),f(β)<0, a≠0 thì phương trình f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt.

Giải và biện luận phương trình qua lập bảng

Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu:

Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu
Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu

Ví dụ: Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu biểu thức: f(x)=(4x^2−1)(−8x^2+x−3)(2x+9)

Cách giải:

Cách giải
Cách giải

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích liên quan đến chủ đề dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn luôn học tốt!

Leave a Reply

Your email address will not be published.