Các phép toán trên tập hợp: Lý thuyết, bài tập và cách giải chi tiết

Tập hợp là một tập các đối tượng được gom nhóm lại với một quy tắc nhất định. Có nhiều phép toán trên tập hợp như phép giao, phép hợp,… Bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ đề cập rõ hơn về tập hợp và các phép toán trong tập hợp. Cùng theo dõi nhé! 

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa về tập hợp

Tập hợp trong toán học được biết đến là một khái niệm cơ bản không thể định nghĩa. Người ta thường sử dụng những chữ cái in hoa như: A, B, C, D, … để kí hiệu cho tập hợp, các chữ cái in thường như: a, b, c, d, … cho các phần tử bên trong tập hợp và tập hợp không chứa bất kì phần tử nào còn gọi là tập hợp rỗng (Ø).

Ví dụ: A={0, 1, 2, 3}, B={a, b, c}, C={Ø} …

Các tập hợp được mô tả bằng 2 cách:

• Liệt kê các phần tử trong tập hợp: X={1, 2, 3, 4}, Y={a, d, e}, …
• Sử dụng tính chất đặc trưng của phần tử bên trong tập hợp: O={x∊N| 2x-5=0}, P={x∊R| x² –3x +2=0} , …

Có một vài lưu ý về những tập hợp đã được quy ước sẵn trong toán học: 

• Tập hợp các số tự nhiên: N={0, 1, 2, 3, …}
• Tập hợp các số tự nhiên không chứa số 0: N*={1, 2, 3, 4, …}
• Tập hợp các số nguyên: chứa các số nguyên âm, số nguyên dương và số 0, Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
• Tập hợp các số hữu tỉ: Q={a/b; a, b∈Z, b≠0}
• Tập hợp các số vô tỉ : được kí hiệu là I, các số 2 , 3…
• Tập hợp các số thực: là một tập hợp lớn nhất chứa các tập hợp ở trên, gồm số hữu và số vô tỉ, nó được kí hiệu là chữ R. 

Tập hợp con

Với hai tập hợp A, B bất kì. Tập hợp A được gọi là con của tập hợp B khi và chỉ khi mọi phần tử trong tập hợp A đều thuộc tập hợp B hay còn gọi tập hợp B chứa tập hợp A, tập hợp B là tập hợp mẹ của tập hợp A.

Kí hiệu: A ⊂ B ⇔ x ∈ A => x ∈ B

Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp A và B bất kì được gọi là bằng nhau khi mọi phần tử của tập hợp A và phần tử của tập hợp B đều như nhau.

Kí hiệu: A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

Các tập hợp số

Mối quan hệ về các tập hợp số

N*⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I⊂R

Các tập con thường dùng của R

Các phép toán trên tập hợp

Giao của hai tập hợp

Với hai tập hợp A và B bất kì, ta có giao giữa tập hợp A và tập hợp B là các phần tử chung của hai tập hợp.

Kí hiệu: A∩B

Nhận xét: A∩B={x|x∊A và x∊B}

Hợp của hai tập hợp

Với hai tập hợp A và B bất kì, ta có hợp giữa tập hợp A và tập hợp B là tập hợp chứa tất cả phần tử của tập hợp A và tập hợp B.

Kí hiệu: A∪B

Nhận xét: A∪B={x|x∊A hoặc x∊B}

Hiệu của hai tập hợp:

Với hai tập hợp A và B bất kì, ta có hiệu giữa tập hợp A và tập hợp B là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B.

Kí hiệu: A\B

Nhận xét: A\B={ x∊A|x∉B}

Một số ví dụ và bài tập

Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp

Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:

A={0,1,2,3,4}

B={0,4,8,12,16}

C={1,2,4,8,6}

Lời giải:

Ta có các tập hợp A,B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là 

A= {x∊N| x≤4}

B = {x∊N| x:4 và x≤16} 

C = {2n| n≤4 và n∊N}

Ví dụ 2: Cho các tập hợp:

A= {x∊R| (x² +7x +6)(x2 -4 =0)}

B={x∊N| 2x≤8}

C={2x+1| x∊Z và -2≤x≤4}

1. a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử
2. b) Tìm A∩B, A∪B, B\C, CABB\C.
3. c) Tìm (AC)\B.

4.2. Sử dụng biểu đồ VEN để giải toán:

Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A, đều biết chơi đá câu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? Nhiều em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Đội tuyển thi đá cầu và đấu cờ vua của Trường Tiểu học Võ Thị Sáu có 22 em, trong đó có 15 em thi đá cầu và 12 em thi đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em trong đội tuyển thi đấu cả hai môn ?

Xem thêm:

• Số hữu tỉ là gì? Tập hợp Q các số hữu tỉ – Toán học lớp 7
• R là gì trong toán học? Các tập số trong toán học bạn cần ghi nhớ
• Quy tắc chuyển vế: Tổng hợp Lý thuyết và Các dạng toán cơ bản

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về các phép toán trên tập hợp cũng như các ví dụ và các bài tập theo các dạng. Hy vọng bài viết cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và đừng quên theo dõi những bài viết khác tại DINHNGHIA.COM.VN nhé!