Cách tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể bằng tích phân đơn giản

Toán họcCách tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể bằng tích...

Ngày đăng:

0
(0)

Tính diện tích hình phẳng là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? Các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Cách tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới đây Dinhnghia.com.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Diện tích hình phẳng là gì?

Diện tích hình phẳng là một khái niệm trong toán học, đây là đơn vị đo lường diện tích của một hình học nằm trong một mặt phẳng hai chiều. Diện tích hình phẳng là đại lượng dương (+) và thường được đo bằng các đơn vị diện tích như mét vuông (m²), centimet vuông (cm²), kilômét vuông (km²),…

Diện tích hình phẳng được ứng dụng rất đa dạng và phổ biến trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, đo lường, hình học, khoa học tự nhiên và kỹ thuật,… Chẳng hạn, tính diện tích mặt sàn, diện tích bề mặt trong xây dựng và kiến trúc, hay diện tích đất trồng, đất canh tác trong nông nghiệp,… 

Diện tích hình phẳng là một khái niệm trong toán học
Diện tích hình phẳng là một khái niệm trong toán học

Có thể bạn quan tâm:

Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản đến nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân

Dạng cơ bản (một đồ thị hàm số)

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b là :

S=∫[ba] |f(x)|dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số f(x) = 2x + 1 và trục hoành trên đoạn[0, 3].

Cách giải: Áp dụng công thức ta có: S = ∫[0, 3] |2x + 1|dx

Xét 2 trường hợp: 

  • TH1: 2x + 1 ≥ 0 ∀x ∈ [0;3], ta có: ∫[0, 3] (2x + 1)dx = [x² + x] ∀ x trên đoạn [0, 3] 

= (3² + 3) – (0^2 + 0)= 12

  • TH2: 2x + 1 < 0 ∀x ∈ [0;3], ta có: ∫[0, 3] -(2x + 1)dx = -[x² + x] ∀ x trên đoạn [0, 3]

 = -(3² + 3) – (0² + 0)= -12

Tổng diện tích: S= |12| + |-12|= 12 + 12= 24

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)= 2x + 1 và trục hoành trên đoạn [0;3] là 24 (đvdt)

Dạng mở rộng (hai đồ thị hàm số)

Nếu hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b.

S=∫[ba] |f(x) − g(x)|dx

Ví dụ: Tìm diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x² và y=2x

Cách giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trên là:

x²= 2x ⇔ x² − 2x= 0 ⇔ x= 0; x= 2

Vậy hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x², y=2x và hai đường thẳng x=0, x=2

Áp dụng công thức trên ta có: S=∫[2;0] |x² − 2x|dx =∫[2;1] (x² − 2x)dx = 4/3 (đvdt)

Ngoài ra, ta còn có trường hợp diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi đồ thị ba hàm số: y=f(x); y= g(x); y= h(x)

Các bước làm như sau:

  • Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị là a;b;c với a≤b≤c
  • Bước 2: Diện tích hình phẳng S sẽ được tính theo công thức :

S= ∫[b;a] [g(x) – h(x)]dx – ∫[c;b] [f(x) – h(x)]dx

Công thức tính thể tích vật thể trong không gian bằng tích phân

Dạng tổng quát (vật thể bất kì)

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

V= ∫[b;a] S(x)dx

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt

Dạng đặc biệt (khối tròn xoay)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Ox

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x= a; x= b quanh trục Ox:

Vx= π.∫[b;a] [f(x)]²dx

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= cos2x; x= 0; x= π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.

Cách giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

V= π.∫[π/4;0] (cos²2x)dx= π.∫[π/4;0] (1 + cos4x)dx

= π/2 (x + (sin4x/4) trên đoạn [π/4;0]

Áp dụng tích phân từng phân, ta có: V= π/2.π/4 = π²/8 (đvtt)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Ox
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Ox

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Oy

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y= c; y= d quanh trục Oy:

Vy= π.∫[d;c] [g(y)]²dy

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2/y; y= 1; y= 4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Oy.

Cách giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

V= π.∫[4;1].(2/y)²dy= π.(-4/y) trên đoạn [4;1]

Áp dụng tích phân từng phân, ta có: V= π.[(-4/4) – (-4/1)]= 3π (đơn vị thể tích)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Oy
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình phẳng quanh trục Oy

Xem thêm:

Bài viết trên đây của Dinhnghia.com.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt! 

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

Trôn Việt Nam là gì? Vì sao hot rần rần trên TikTok, Facebook?

Những ngày gần đây, giới trẻ bỗng rần rần...

IRR là gì? Công thức tính, ý nghĩa, mối liên hệ giữa IRR và NPV

IRR được biết là tỷ suất lợi nhuận nội...

Status là gì? Cách đăng Status lên Facebook, Zalo nhanh, đơn giản nhất

Mạng xã hội dần trở nên phổ biến với...

Cách làm mứt dừa non thơm bùi, mềm dẻo với công thức chuẩn nhất đón Tết

Mứt dừa là loại mứt không thể thiếu trên...