Thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện và Một số bài tập

Thiết diện là một dạng toán khó và thường gặp trong chương trình Toán THPT. Vậy thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện Cách xác định thiết diện của hình hộp như nào? Lý thuyết cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc? Các dạng bài tập về diện tích thiết diện?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề thiết diện là gì, cùng tìm hiểu nhé!

Định nghĩa thiết diện là gì?

Cho hình 𝕋 và mặt phẳng (𝑃), phần mặt phẳng của (𝑃) nằm trong 𝕋 được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (𝑃) cắt một số mặt của 𝕋 được gọi là thiết diện.

Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của mặt phẳng với hình chóp đó.

Ví dụ 1: Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷. Lấy 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐴. Khi đó mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝑀 và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác 𝑀𝑁𝑃𝑄 với 𝑁,𝑃,𝑄 lần lượt là trung điểm 𝑆𝐵,𝑆𝐶,𝑆𝐷.

Định nghĩa thiết diện là gì?
Định nghĩa thiết diện là gì?

Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và vuông góc

Từ định nghĩa thiết diện là gì, chúng ta cùng nhau tìm hiểu về cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc. Nhìn chung, để tìm thiết diện tạo bởi hình 𝕋 và mặt phẳng (𝑃) ta làm như sau :

  • Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng (𝑃) với các cạnh của hình 𝕋. Ta có thể tìm giao điểm của (𝑃) với các mặt của hình 𝕋 rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.
  • Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên. Hình đa diện được tạo bởi các đa diện đó chính là thiết diện cần tìm.

Chú ý: Để tìm thiết diện chúng ta sẽ cần sử dụng một số quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

  • Cho đường thẳng 𝑑∈(𝑃). Mặt phẳng (𝑄) song song với 𝑑 và cắt (𝑃) tại giao tuyến là đường thẳng 𝑑′. Khi đó 𝑑||𝑑′
  • Cho hai mặt phẳng (𝑃),(𝑄) thỏa mãn : {(𝑃)⊥(𝑄)(𝑃)∩(𝑄)=𝑑. Khi đó nếu {𝑑′∈(𝑃)𝑑′⊥𝑑⇒𝑑′⊥(𝑄)

Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song

Bài toán xác định thiết diện song song với đường thẳng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành. Gọi 𝑀 là một điểm bất kì nằm trên 𝑆𝐴. Mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝑀 và song song với 𝐴𝐵 và 𝑆𝐶. Xác định thiết diện của 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 cắt bởi (𝑃)

Cách giải:

Vì (𝑃)||𝐴𝐵 và 𝐴𝐵∈(𝑆𝐴𝐵) nên

⇒ giao tuyến của (𝑃) và (𝑆𝐴𝐵) song song với 𝐴𝐵

Trong mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) dựng 𝑀𝑁 song song với 𝐴𝐵. Khi đó (𝑃)∩𝑆𝐵=𝑁

Ta có:

{(𝑃)||𝑆𝐶𝑆𝐶∈(𝑆𝐵𝐶)⇒𝑆𝐶||((𝑃)∩(𝑆𝐵𝐶))

Như vậy : (𝑃)∩𝐵𝐶=𝑃 với 𝑁𝑃||𝑆𝐶

Tương tự:

{(𝑃)||𝐵𝐶𝐵𝐶∈(𝐴𝐵𝐶𝐷)⇒𝑆𝐶||((𝑃)∩(𝐴𝐵𝐶𝐷))

Như vậy: (𝑃)∩𝐴𝐷=𝑄 với 𝑃𝑄||𝐴𝐵

Vậy 𝑀𝑁𝑃𝑄 là thiết diện cần tìm.

Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc

Từ khái niệm thiết diện là gì, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu qua bài toán xác định thiết diện vuông góc với đường thẳng.

Phương pháp:

Cho mặt phẳng (α) cùng với đường thẳng a không vuông góc với (α). Hãy xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).

Cách giải: 

  • Đầu tiên ta cần chọn một điểm A∈a
  • Tiếp theo dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp (a,b) chính là mặt phẳng (β).

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, bên cạnh đó SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Vậy (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.

Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc
Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc

Diện tích thiết diện là gì?

Diện tích thiết diện là gì? Đây hẳn là câu hỏi được rất nhiều học sinh quan tâm. Diện tích thiết diện theo định nghĩa chính là diện tích phần mặt cắt (thiết diện) được tạo bởi mặt phẳng (𝑃) và hình 𝕋 như đã nói ở trên.

Cách tính thiết diện?

Để tính được diện tích thiết diện thì ta cần sử dụng một số công thức tính diện tích hình phẳng như hình tam giác, hình chữ nhật ,… Sau đó ta có thể chia nhỏ thiết diện thành các hình đơn giản trên để tính toán rồi sau đó cộng lại.

Ví dụ 4:

Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông tâm 𝑂 và 𝐴𝐵=𝑎. Biết rằng 𝑆𝐴⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝑆𝐴=𝑎2‾√. Mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝐵 và vuông góc vuoonlt SC [/latex]. Tính diện tích thiết diện của hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 cắt bởi mặt phẳng (𝑃)

Cách giải:

Ta có:

𝑆𝐴⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷)⇒𝑆𝐴⊥𝐵𝐷

𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 ( do là hai đường chéo của hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 )

⇒𝐵𝐷⊥(𝑆𝐴𝐶)

⇒𝐵𝐷⊥𝑆𝐶(1)

Trong mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) kẻ 𝑂𝐸⊥𝑆𝐶(2)

Từ (1)(2)⇒(𝐵𝐸𝐷)⊥𝑆𝐶

Vậy mặt phẳng (𝐵𝐸𝐷) chính là mặt phẳng (𝑃) và thiết diện cần tìm là tam giác 𝐵𝐸𝐷

Vì hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 có độ dài cạnh 𝐴𝐵=𝑎 nên ⇒ đường chéo 𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝑎2‾√(3)

Trong mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) xét tam giác 𝑆𝐴𝐶 vuông tại 𝐴.

⇒𝑆𝐶=𝑆𝐴2+𝐴𝐶2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=2𝑎

𝑂𝐶=𝐴𝐶2=𝑎2√

Xét Δ𝑆𝐴𝐶 và Δ𝑂𝐸𝐶 có :

𝐴ˆ=𝐸ˆ=90∘

𝐶ˆ chung

⇒Δ𝑆𝐴𝐶∼Δ𝑂𝐸𝐶

Vậy ta có :

𝑂𝐸𝑆𝐴=𝑂𝐶𝑆𝐶⇒𝑂𝐸=𝑂𝐶.𝑆𝐴𝑆𝐶=𝑎2√.𝑎2√2𝑎=𝑎2(4)

Vì 𝐵𝐷⊥(𝑆𝐴𝐶 nên 𝐵𝐷⊥𝐸𝑂(5)

Từ (3)(4)(5) ta có :

𝑆𝐵𝐸𝐷=𝐵𝐷.𝐸𝑂2=𝑎2√.𝑎22=𝑎222√

Vậy diện tích thiết diện là 𝑎222√ đơn vị diện tích

Cách tính thiết diện?
Cách tính thiết diện?

Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt

Các ví dụ trên chúng ta đã cùng nói về khái niệm thiết diện là gì, kiến thức thiết diện của hình chóp. Bây giờ chúng ta sẽ nói đến thiết diện của một số hình khối khác.

Cách xác định thiết diện của hình trụ

Định nghĩa hình trụ là gì?

Khi quay một hình chữ nhật quanh một trục cố định, ta được một hình trụ với hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.

Ví dụ thiết diện hình trụ

  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là 𝑟 ) bởi một mặt phẳng (𝛼) vuông góc với trục Δ ( song song với hai mặt đáy ) thì ta được thiết diện là đường tròn có tâm nằm trên Δ và có bán kính bằng 𝑟
  • Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là 𝑟 ) bởi một mặt phẳng (𝛼) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh thì ta được thiết diện là một đường Elip có trục nhỏ bằng 2𝑟 và trục lớn bằng 2𝑟sin𝜙 với 𝜙 là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (𝛼) và 0<𝜙<90∘

Cho mặt phẳng (𝛼)  song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng 𝑘 .

  • Nếu 𝑘<𝑟 thì mặt phẳng (𝛼)  cắt mặt trụ theo hai đường sinh và thiết diện là hình chữ nhật.
  • Nếu 𝑘=𝑟 thì mặt phẳng (𝛼)  tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
  • Nếu 𝑘>𝑟 thì mặt phẳng (𝛼)  không cắt mặt trụ.
Ví dụ thiết diện hình trụ
Ví dụ thiết diện hình trụ

Ví dụ 5:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng 3𝑎 và thể tích bằng 90𝜋𝑎3. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục 2𝑎 cắt khối chóp tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó

Cách giải:

Do mặt phẳng song song với trục và cách trục 2𝑎<3𝑎=𝑟 nên ⇒ thiết diện là hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴𝐵=𝐶𝐷 là đường cao của hình trụ

Do đó : 𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝑉𝑆=90𝜋𝑎32𝜋.9𝑎2=5𝑎

Kẻ 𝑂𝐻⊥𝐵𝐶. Do tam giác 𝑂𝐵𝐶 cân tại 𝑂 nên ta có :

{𝑂𝐻=2𝑎𝑂𝐵=3𝑎⇒𝐵𝐶=2𝐵𝐻=2𝑂𝐵2−𝑂𝐻2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=25‾√𝑎

Như vậy diện tích thiết diện :

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵.𝐵𝐶=5𝑎.25‾√𝑎=105‾√𝑎2 đơn vị diện tích

Cách xác định thiết diện của hình hộp

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành. Hai mặt đối diện song song và bằng nhau

Hình hộp có 12 cạnh chia làm 3 nhóm. Mỗi nhóm gồm 4 cạnh song song và bằng nhau.

Để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (𝛼) thì ta cần sử dụng các quan hệ song song, vuông góc để tìm giao của (𝛼) với các cạnh của hình hộp.

Ví dụ 6:

Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. Trên ba cạnh 𝐴𝐵,𝐷𝐷′,𝐵𝐵′ lần lượt lấy ba điêm 𝑀,𝑁,𝑃 thỏa mãn 𝐴𝑀𝐴𝐵=𝐷′𝑁𝐷′𝐷=𝐵′𝑃𝐵′𝐵

Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃)

Cách giải:

Trên 𝐴𝐷 lấy điểm 𝐸 sao cho : 𝐴𝑀𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐷

⇒𝑀𝐸||𝐵𝐷

Vì 𝐵′𝑃𝐵′𝐵=𝐷′𝑁𝐷′𝐷⇒𝑃𝑁||𝐵′𝐷′⇒𝑃𝑁||𝐵𝐷

⇒𝑀𝐸||𝑃𝑁⇒𝐸∈(𝑀𝑁𝑃)(1)
Trên 𝐵′𝐶′ lấy điểm 𝐹 sao cho : 𝐵′𝐹𝐵′𝐶=𝐵′𝑃𝐵′𝐵

⇒𝑃𝐹||𝐵𝐶′

Vì 𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐷′𝑁𝐷′𝐷⇒𝐸𝑁||𝐴𝐷′⇒𝐸𝑁||𝐵𝐶′

⇒𝑃𝐹||𝐸𝑁⇒𝐹∈(𝑀𝑁𝑃)(2)

Trên 𝐶′𝐷′ lấy điểm 𝐾 sao cho : 𝐶′𝐾𝐶′𝐷′=𝐶′𝐹𝐶′𝐵′

⇒𝐾𝐹||𝐵′𝐷′

Vì 𝑃𝑁||𝐵′𝐷′⇒𝑃𝑁||𝐾𝐹⇒𝐾∈(𝑀𝑁𝑃)(3)

Từ (1)(2)(3)⇒ thiết diện là lục giác 𝑀𝑃𝐹𝐾𝑁𝐸

Cách tìm thiết diện của hình lập phương

Hình lập phương là một hình hộp đặc biệt, do đó các tìm thiết diện khi cắt hình lập phương bởi mặt phẳng (𝛼) cũng giống như bài toán tìm thiết diện của hình hộp chữ nhật. Tuy nhiên do tính chất đặc biệt của hình lập phương mà chúng ta có thể sử dụng các tính chất đó để tìm thiết diện một cách dễ dàng hơn

 Ví dụ 7:

Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có độ dài cạnh bằng 𝑎 . Gọi 𝑀,𝑁,𝑃 lần lươt là trung điểm 𝐴𝐷,𝐶𝐷,𝐵𝐵′. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃)

Cách giải:

Xét mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷). Kéo dài 𝑀𝑁 cắt đường thẳng 𝐴𝐵,𝐵𝐶 lần lượt tại 𝐾,𝐻

Gọi {𝐹=𝑃𝐾∩𝐴𝐴′𝐸=𝑃𝐻∩𝐶𝐶′

Như vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác 𝑀𝑁𝐸𝑃𝐹

Ta có :

{𝑀𝑁||𝐴𝐶𝐴𝑀||𝐶𝐻⇒𝐴𝑀𝐻𝐶 là hình bình hành

⇒𝐶𝐻=𝐴𝑀=𝑎2

Tương tự ta được : ⇒𝐴𝐾=𝐶𝐻=𝑎2

⇒𝐵𝐾=𝐵𝐻=3𝑎2

Theo định lý Pitago ⇒𝑃𝐻=𝑃𝐾=𝐵𝑃2+𝐵𝐾2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎10√2

Do 𝐴𝐹||𝐵𝑃 nên 𝑃𝐹𝑃𝐾=𝐵𝐴𝐵𝐾⇒𝑃𝐹=𝐵𝐴.𝑃𝐾𝐵𝐾=𝑎.𝑎10√23𝑎2=𝑎10√3

Tương tự ta cũng có 𝑃𝐸=𝑎10√3

Mặt khác 𝐴𝐹𝐵𝑃=𝐾𝐴𝐾𝐵=𝐻𝐶𝐻𝐵=𝐶𝐸𝐵𝑃⇒𝐴𝐹=𝐶𝐸⇒𝐴𝐶𝐸𝐹 là hình bình hành

⇒𝐸𝐹=𝐴𝐶=𝑎2‾√

Như vậy tam giác 𝑃𝐸𝐹 cân tại 𝑃 và có :

{𝑃𝐸=𝑃𝐹=𝑎10√3𝐸𝐹=𝐴𝐶=𝑎2‾√

Vậy 𝑆𝑃𝐸𝐹=𝐸𝐹.2𝑃𝐹2−(𝐸𝐹2)2√2=𝑎2‾√.10𝑎29−𝑎22‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎211√3(1)

Do Δ𝐴𝑀𝐹=Δ𝐶𝑁𝐸 (c.g.c) nên

⇒𝑀𝐹=𝐸𝑁

Mặt khác ⇒𝑀𝑁||𝐸𝐹 ( do cùng song song với 𝐴𝐶 )

⇒𝑀𝑁𝐸𝐹 là hình thang cân có {𝑀𝑁=𝑎2𝐸𝐹=𝑎2‾√

Kẻ 𝑀𝐼⊥𝐸𝐹, ta có :

𝐹𝐼=𝐸𝐹−𝑀𝑁2=22√−14𝑎

𝐴𝐹𝐵𝑃=𝐾𝐴𝐾𝐵⇒𝐴𝐹=𝐾𝐴.𝐵𝑃𝐾𝐵=𝑎3

⇒𝐹𝑀=𝐴𝐹2+𝐴𝑀2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎13√6

Như vậy ⇒𝑀𝐼=𝐹𝑀2−𝐹𝐼2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=𝑎362√−29√12

⇒𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=(𝑀𝑁+𝐸𝐹).𝑀𝐼2=(22√+1)362√−29√24𝑎2(2)

Từ (1)(2)⇒𝑆𝑀𝑁𝐸𝑃𝐹=𝑆𝑃𝐸𝐹+𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=811√+(22√+1)362√−29√24𝑎2 đon vị diện tích

Một số dạng bài tập về diện tích thiết diện

Sau đây là một số bài tập tìm thiết diện và diện tích thiết diện có đáp số để các bạn có thể tự luyện tập.

Bài 1:

Cho hình chóp tứ giác đều 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có độ dài cạnh đáy bằng 𝑎. Gọi 𝑀,𝑁,𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝑆𝐴,𝑆𝐵,𝑆𝐶. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃) và tính diện tích thiết diện đó ?

Đáp số : Thiết diện là 𝑀𝑁𝑃𝑄 với 𝑄 là trung điểm 𝑆𝐷 và 𝑆𝑀𝑁𝑃𝑄=𝑎24

Bài 2 :

Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 và 𝐴𝐵=𝑎;𝐶𝐷=𝑏. Gọi 𝐼,𝐽 lần lượt là trung điểm 𝐴𝐵,𝐶𝐷. Trên 𝐼𝐽 lấy điểm 𝑀 sao cho 𝐼𝑀=𝐼𝐽3. Mặt phẳng (𝛼) đi qua 𝑀 và song song với 𝐴𝐵,𝐶𝐷 cắt tứ diện tạo thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó ?

Đáp số : 𝑆=2𝑎𝑏9

Bài 3:

Cho hình trụ tròn xoay có trục là 𝑂𝑂′. Thiết diện qua trục 𝑂𝑂′ là một hình vuông cạnh bằng 2𝑎. Gọi 𝑀 là trung điểm 𝑂𝑂′. Mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝑀 tạo với đáy một góc bằng 30∘ cắt khối trụ theo một thiết diện hình Elip. Tính diện tích thiết diện Elip đó ?

Đáp số : 𝑆=2𝜋3√𝑎2

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết thiết diện là gì, cách tìm thiết diện cũng như công thức tính diện tích thiết diện. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề thiết diện là gì. Chúc bạn luôn học tốt!

Leave a Reply

Your email address will not be published.