Một trong những định nghĩa toán học được nhiều em học sinh quan tâm đó là là lim và giới hạn của hàm số. Vậy lim là gì? Giới hạn của hàm số là gì? Chuyên đề giới hạn của hàm số lớp 11 cần lưu ý những gì?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn giải đáp về chủ đề lim là gì và giới hạn của hàm số là gì, cùng tìm hiểu nhé!
Nội dung bài viết
Định nghĩa Lim là gì?
Lim – viết tắt của Limit trong tiếng anh với nghĩa là “giới hạn”. Định nghĩa về “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó.
Khái niệm về giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy Cauchy các điểm đã được xác định trước trong một không gian đầy đủ. Giới hạn được xem là một khái niệm quan trọng của môn Giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân.
Định nghĩa về giới hạn dãy số được tổng quát hóa thành giới hạn của một lưới topo, và được liên hệ chặt chẽ với các khái niệm giới hạn và giới hạn trực tiếp trong lý thuyết phạm trù. Ký hiệu giới hạn bằng chữ lim.
Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an)=a hoặc (an)→a
Định nghĩa giới hạn của hàm số lớp 11
Giới hạn của hàm số là gì?
Cho khoảng K chứa điểm x0. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi xdần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kỳ, (xn)∈K∖{x0} và xn→x0, ta có: f(xn)→L.
Ký hiệu: limx→x0 f(x)=L hay f(x)→L
khi x→x0.
Giới hạn vô cực là gì?
Hàm số y=f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):
xn→x0 thì f(xn)→+∞
Kí hiệu: limx→x0f(x)=+∞
Tương tự cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực.
Ta cũng định nghĩa như trên khi thay x0 bởi −∞;+∞
Giới hạn tại vô cực
Hàm số y=f(x) xác định trên (a;+∞) có giới hạn là L khi x→+∞ nếu với mọi dãy số (xn):xn>a và xn→+∞ thì f(xn)→L.
Kí hiệu: limx→+∞f(xn)=L
Hàm số y=f(x) xác định trên(−∞;b)có giới hạn là L khi x→−∞ nếu với mọi dãy số (xn)
Kí hiệu: limx→−∞f(xn)=L
Các định lý về giới hạn
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi x→x0 (hay x→−∞;x→+∞) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x→x0 (hay x→−∞;x→+∞).
Chú ý: Định lý trên chỉ ấp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
Bài tập giới hạn một bên
Giới hạn một bên
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (x0;b). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn):x0<xn<b mà xn→x0 thì có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→x+0f(x)=L
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;x0). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn):a<xn<x0 mà xn→x0 thì có f(xn)→L
Kí hiệu: limx→x−0f(x)=L
Chú ý: limx→x0f(x)=L⇔limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x)=L
Ứng dụng của giới hạn lim là gì?
Ứng dụng của giới hạn trong công nghiệp
Một người kỹ sư được yêu cầu sản xuất 1 chiếc đĩa tròn bằng kim loại với tiết diện mặt là 1000cm2
Theo định nghĩa của ϵ,δ, limx→af(x)=L, thì x là gì?f(x) là gì? a là gì? L là gì? giá trị ϵ là bao nhiêu? Giá trị tương ứng củaδ là bao nhiêu?
Điều kiện để tồn tại giới hạn
Định lý 1 cơ bản
limx→x0f(x)=A⇔∀{xn}⊂X
limn→∞xn=x0 thì limn→∞f(xn)=A
Định lý 2 (định lý Bônxanô-Côsi)
f(x) xác định trên X, khi đó:
limx→af(x)=l⇔∀ε>0,∃δ>0∀x′,x”:0<|x′−a|<δ;0<|x”−a|<δ⇒|f(x′)−f(x”)|<ε
Định lý 3: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X
limx→∞f(x)=l⇔∀ε>0,∃N∈N sao cho ∀x′,x”<|x′|>N;|x”|>N⇒|f(x′)−f(x”)|<ε
Định nghĩa về giới hạn vô cùng
Hàm số f(x), x xác định trên khoảng (a,b) được gọi là một vô cùng bé, nếu
limx→af(x)=0 khi a∈(a,b) hoặc limx→∞f(x)=0
Kí hiệu là: VCB
Hàm số f(x), x xác định trên khoảng (a,b) được gọi là một vô cùng lớn, nếu:
limx→af(x)=∞ khi a∈(a,b) hoặc limx→∞f(x)=∞
Kí hiệu là: VCL.
Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích về chủ đề lim là gì, giới hạn là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có bất cứ đóng góp hay câu hỏi gì cho bài viết về chủ đề lim là gì, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!