Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và

Trong chương trình toán học 11, chuyên đề giới hạn của hàm số là phần kiến thức trọng tâm yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết cũng như cách giải các dạng bài tập. Vậy cụ thể giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và cách tìm giới hạn của hàm số? Thế nào là giới hạn của hàm số vô định? Cách giải dạng toán giới hạn hàm số toán cao cấp?… Trong nội dung chi tiết của bài viết dưới đây, DINHNGHIA.Com.Vn sẽ giúp bạn tìm hiểu về chủ đề này nhé!

Định nghĩa giới hạn của hàm số là gì?

Định nghĩa giới hạn của hàm số là gì?
Định nghĩa giới hạn của hàm số là gì?

Lý thuyết giới hạn hàm số lớp 11

Dưới đây là lý thuyết về giới hạn hàm số 11 giúp các em có thể nắm bắt kiến thức:

Giới hạn hữu hạn là gì?

  • Giới hạn đặc biệt

limx→ x0x= x0

limx→ x0c= c (c: hằng số)

  • Định lý

Giả sử:

limx→ x0f(x)= L,limx→ x0g(x)=M. Khi đó:

  • limx→ x0|f(x)+g(x)|= L+M
  • limx→ x0|f(x)–g(x)|= L–M
  • limx→ x0|f(x).g(x)|= L.M
  • limx→ x0f(x)g(x)= LM,M≠0

Nếu f(x) ≥0 và limx→ x0f(x)=L thì L≥ 0 và limx→ x0 √f(x)=√ L

Giới hạn một bên là gì?

  • Số L là:

Giới hạn bên phải của hàm số y= f(x) kí hiệu là limx→ +x0f(x)=L

Giới hạn bên trái của hàm số y= f(x) kí hiệu là limx→ −x0f(x)=L

  • Định lý: limx→ x0f(x)=L⇔ limx→+x0f(x)=L= limx→ −x0f(x)=L

Giới hạn hữu hạn của hàm số vô cực

Hàm số y= f(x) có giới hạn là số L khi x→ +∞ (hoặc x→−∞) kí hiệu là: limx→+∞ f(x)=L (hoặc limx→ −∞f(x)= L)

Với c,k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

limx→ ±∞ c= c, limx→ ±∞ c/x^k= 0

Giới hạn vô cực của hàm số là gì?

  • Giới hạn vô cực

Giới hạn của hàm số tại vô cực là gì?

Hàm số y=f(x) có giới hạn là ±∞ khi x→ ±∞ kí hiệu là limx→ ±∞f(x)=x= ±∞

limx→ +∞f(x)=+∞⇔ limx→+∞|−f(x)|= −∞

  • Một số giới hạn đặc biệt:

limx→ +∞ x^k=+∞ với k nguyên dương.

limx→ −∞ x^k=+∞ nếu k chẵn và limx→−∞xk= −∞ nếu k lẻ.

limx→ ±∞c= c

limx→ ±∞ c/x^k= 0

limx→ 0−1/x= −∞

limx→0+1/x=+∞

limx→0− 1|/x|=limx→ 0+=+∞

  • Định lý

Ta có định lý:

Ta có định lý
Ta có định lý

Các công thức về giới hạn:

limx→∞(1+a/x)^x= ea,(a≠0)

Khi a = 1 ta có:

  • limx→ ∞(1+1/x)^x= e(e=2,71828)
  • limx→ 0 sinx/x= 1
  • limx→ 0 tanx/x= 1
  • limx→ 0 arcsinx/x= 1
  • limx→ 0 arctan/x= 1

Giới hạn hàm số giải tích lớp 11

Giới hạn hàm số nâng cao

Ví dụ: Ta có bài toán sau:

Cho a1,a2,…,an và b1,b2,…,bm là các số cho trước. Tìm giới hạn sau

L= limx→ +∞ ((√n(x+a1)(x+a2)…(x+an)) – (√m(x+b1)(x+b2)…(x+bm)))

Cách giải:

Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử ta có:

L=limx→ +∞[(√n(x+a1)(x+a2)…(x+an)–x)–(√m(x+b1)(x+b2)…(x+bm)–x)]

Từ đó suy ra:

L= 1n∑ni= 1ai–1m ∑mi= 1bi

Tìm giới hạn hàm số bằng máy tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số sau: (−x^2−x+6)/(x^2+3x)

Cách giải:

Cách giải
Cách giải

Các dạng toán về giới hạn hàm số

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lý

Phương pháp giải:

  • Chọn hai dãy số khác nhau (an) và (bn) thỏa mãn an và bn thuộc tập xác định của hàm số y = f(x) và khác (x0); an→ x0,bn→ x0
  • Chứng minh limf(an)≠ limf(bn) hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.
  • Từ đó suy ra limx→x0f(x) không tông tại. TH x→ ±0 hoặc x→ ±∞ chứng minh tương tự

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x)= (x^2+1)/(2√x), limx→ 3f(x) bằng bao nhiêu?

Cách giải:

Hàm số đã cho xác định trên (0;+∞)

Giả sử (xn) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn> 0,xn≠3 và xn→ 3 khi n→ +∞. Ta có:

limf(xn)= (limx^2n+1)/ (2√xn) = (3^2+1)/(2√3)=(5√3 )/3(áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó limx→ 3f(x)= (5√3)/3

Dạng 2: Tìm giới hạn vô định dạng 0/0

Tính limx→ x0 f(x)/g(x) khi limx→ x0 f(x)= limx→ x0g(x)= 0 trong đó f(x) và g(x) là đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp giải:

  • Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử giản ước
  • Nếu f(x) và g(x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của limx→x1 (xm−xn)/(x−1) (m,n∈ N∗)

Cách giải:

Ví dụ 2
Ví dụ 2

Dạng 3: Tìm lim x→ ±∞ f(x)/g(x) trong đó f(x),g(x)→ ∞

Ví dụ 3: Tìm giới hạn limx→−∞ [(√4x^2−3×4)+3] /[(√x^2+x+1)–x]

Cách giải:

limx→−∞ [(√4x^2−3×4)+3]/ [(√x^2+x+1)–x]=limx→ −∞ [(−√4−3/x+4/x^2)+3] /[(−√1+1/x+1/x^2)−1]

=(−2+3)/(−1−1)=−1/2

Dạng 4: Dạng vô định ∞−∞ và 0.∞

Ví dụ 4: Tìm giới hạn của limx→ +∞ (√x^2–x+1–x)

Cách giải:

Ví dụ 4
Ví dụ 4

Dạng 5: Dạng vô định các hàm lượng giác

Ví dụ 5: Tìm giới hạn của limx→0 (√cosx–3√cosx)/sin^2x

Cách giải:

Ví dụ 5
Ví dụ 5

Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?

Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?
Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?

Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp

Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp
Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp

DINHNGHIA.Com.Vn đã tổng hợp kiến thức lý thuyết, bài tập cũng như cách giải các dạng toán giới hạn hàm số. Hy vọng với những chia sẻ trên đây, bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích cho mình trong việc tìm hiểu và nghiên cứu về chủ đề giới hạn của hàm số. Đừng quên tham khảo bài giảng bên dưới nhé! Chúc bạn luôn học tốt!

Leave a Reply

Your email address will not be published.