Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán

Toán họcGiới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và...

Ngày đăng:

0
(0)

Giới hạn của dãy số là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong chương trình môn Toán lớp 11. Cùng DINHNGHIA.COM.VNtìm hiểu về lý thuyết bài giới hạn của dãy số cùng với các bài tập dễ hiểu dưới bài viết này nhé! 

Lý thuyết giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn 0

  • Định nghĩa 1: Dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: lim_{u_{n}} = 0 hay u(n) = 0 khi n → +.

  • Định nghĩa 2: Dãy số v(n) có giới hạn là a (hay v(n) dần tới a khi n → +∞ nếu: lim_{u_{n}} (v(n)-a) =0.  

Kí hiệu: lim_{u_{n}} = a hay v(n)→ a khi n → +.

Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

Lưu ý: 

Lưu ý một vài giới hạn đặc biệt
Lưu ý một vài giới hạn đặc biệt

Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa: Ta nói dãy số u(n) có giới hạn là + khi n→+, nếu u(n) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim_{u_{n}} = +∞ hay u(n)→ +∞  khi n → +.

Dãy số u(n) được gọi là có giới hạn  khi n → +  nếu lim (-un) = + .

Kí hiệu: lim_{u_{n}} = -∞ hay u(n)→ -∞  khi n → +∞ 

  • Quy tắc tìm giới hạn vô cực: Với lim_{u_{n}} = a ≠ 0 và lim_{v_{n}} = +∞ (hay –) thì lim u(n)v(n):
Quy tắc 1
Quy tắc 1

lim u(n) / v(n):

Quy tắc 2
Quy tắc 2

Có thể bạn quan tâm:

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số u(n) có giới hạn là một số thực a khi lim (u(n) – a) = 0.

Kí hiệu: lim_{u_{n}} = a hay u(n) = a  khi n → +∞

Định lí: 

Nếu lim u(n) = a và lim v(n) = b, thì:

  • lim (u(n) + v(n)) = a + b.
  • lim (u(n)v(n)) = a – b.
  • lim (u(n).v(n)) = ab.
  • lim (u(n)/v(n)) = a/b (nếu b ≠ 0)

Nếu u(n) ≥ 0 với mọi n và lim u(n) = a thì 

a > 0 và lim u√n = √a

Các dạng bài tập về giới hạn dãy số

Tìm giới hạn của dãy số

Bài tập:

Bài tập 1
Bài tập 1

Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Bài tập: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): u=1

Bài tập 2
Bài tập 2

Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

Bài tập:

Bài tập 3
Bài tập 3

Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Bài tập: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 0,32111… Cũng được viết dưới dạng phân số tối giản a/b(a,b là các số nguyên dương). Tính a-b.

Giải

Ta có 0,32111…=32/100 + 1/10^3 + 1/10^4 + 1/10^5 +… = 32/100 + (1/10^3)/(1-(1/10)) =289/900 

Vậy a= 289, b= 900. Do đó a – b= 289 – 900 = – 611

Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ:

Bài tập: Tìm lim (4^n/(2.3^n+4^n))

Giải 

Ta có lim (4^n/(2.3^n+4^n)) = lim ((4^n/4^n)/(2.3^n/4^n+(4^n/4^n))) =lim(1/(2.(3/4)^n+1)) = 1

Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Bài tập: Tính giới hạn của lim ((-2n^3+3n^2+4) / (n^4+4n^3+n))

Giải

Bài tập 6
Bài tập 6

Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Bài tập: Tìm lim ((n – 1 – √(n^2+1))

Bài tập 7
Bài tập 7

Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Bài tập: 

Bài tập 8
Bài tập 8

Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Bài tập:

Bài tập 9
Bài tập 9

Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Bài tập:

Bài tập 10
Bài tập 10

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Bài tập: Tính S=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…

Giải 

Ta có u(1)=1 và q=12

Nên S = u(1)/(1-q) = 1/(1-1/2) = 2.

Xem thêm:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về giới hạn của dãy số cũng như các ví dụ và các bài tập theo các dạng. Hy vọng bài viết cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và đừng quên theo dõi những bài viết khác tại DINHNGHIA.COM.VN nhé!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

Trôn Việt Nam là gì? Vì sao hot rần rần trên TikTok, Facebook?

Những ngày gần đây, giới trẻ bỗng rần rần...

IRR là gì? Công thức tính, ý nghĩa, mối liên hệ giữa IRR và NPV

IRR được biết là tỷ suất lợi nhuận nội...

Status là gì? Cách đăng Status lên Facebook, Zalo nhanh, đơn giản nhất

Mạng xã hội dần trở nên phổ biến với...

Cách làm mứt dừa non thơm bùi, mềm dẻo với công thức chuẩn nhất đón Tết

Mứt dừa là loại mứt không thể thiếu trên...