đường cao là gì

Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong tam giác và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Cách tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề đường cao là gì, cùng tìm hiểu nhé!.

Định nghĩa đường cao là gì ?

Trong toán học, đường cao của một tam giác theo định nghĩa chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao.

Theo lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao.

Độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Định nghĩa đường cao là gì ?
Định nghĩa đường cao là gì ?

Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác

Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có đường cao AH tương ứng với cạnh đáy BC . Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

SΔABC=1/2*BC*AH

Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: AH=2*SΔABC/BC

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC đường cao AH . Lấy M là trung điểm AC. . Kẻ MK vuông góc với BC . Biết HBHC=13, tính tỉ số SΔMKCSΔABC

Cách giải:

Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác
Tìm hiểu tính chất đường cao trong tam giác

Vì {MK⊥BCAH⊥BC⇒AH||BC)

Mà vì M là trung điểm AC nên ⇒MK là đường trung bình của tam giác AHC

⇒K là trung điểm của HC

⇒KCHC=12

Vì HBHC=13⇒HCBC=34

⇒KCBC=38

Do MK là đường trung bình của tam giác AHC nên MKAH=12

Vậy ta có :

SΔMKC/SΔABC=MK*KC/AH*BC=MK/AH*KC/BC=12*38=316

Tính chất đường cao trong tam giác cân

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.

Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác cân
Tính chất đường cao trong tam giác cân

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC đường cao AH và HC=2HB . Trên đường thẳng đi qua C song song với AH , lấy điểm K sao cho CK=AH và K nằm khác phía với A qua BC . AK∩BC=D. Chứng minh tam giác ABD cân

Cách giải:

Vì {AH⊥BCCK⊥BC⇒AH||CK}

Mà AH=CK⇒AHCK là hình bình hành

⇒D là trung điểm của HC

⇒HDHC=12=HBHC⇒HB=HD

⇒ AH là đường trung tuyến của tam giác ABD

Mà AH cũng là đường cao của tam giác ABD

⇒ tam giác ABD cân tại A

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Tính chất đường cao trong tam giác vuông
Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

Tính chất đường cao trong tam giác đều

Tính chất đường cao trong tam giác đều
Tính chất đường cao trong tam giác đều

Tìm hiểu các công thức tính đường cao trong tam giác

Công thức Heron: Đây là công thức tổng quát để tính độ dài đường cao của tam giác bất kỳ

ha=2p(p−a)(p−b)(p−c)√a

Trong đó:

  • a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác
  • p là nửa chu vi: p=a+b+c2
  • ha là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy a

Ngoài ra trong một số tam giác đặc biệt ta có thể sử dụng các công thức khác để tính đường cao tam giác.

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

AH=sqrt(AB^2−(BC^2)/4)

Công thức tính đường cao trong tam giác cân
Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

AH=sqrt(AB^2−(BC^2)/4)=a√3/4

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng những công thức như sau:

AH=AB*AC/BC

AH=sqrt(HB*HC)

1/AH^2=1/AB^2+1/AC^2

Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC cân tại  A có đường cao AH và BK. Chứng minh rằng :

1/BK^2=1/BC^2+1/4AH^2

Cách giải:

Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D . Khi đó ta có :

{AH⊥BCBD⊥BC⇒AH||BD

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến của BC

⇒H là trung điểm BC

⇒AH là đường trung bình của tam giác BCD

⇒BD=2AH

Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông BCD ta có :

1/BK^2=1/BC^2+1/BD^2=1BC2+1/4AH^2

Tìm hiểu về trực tâm tam giác

Định nghĩa trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác hiểu đơn giản chính là giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ giao nhau tại một điểm, ta gọi đó là trực tâm của tam giác.

  • Đối với tam giác nhọn: Trực tâm sẽ nằm ở miền trong tam giác đó.
  • Đối với tam giác vuông: Trực tâm sẽ chính là đỉnh góc vuông.
  • Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Định nghĩa trực tâm là gì?
Định nghĩa trực tâm là gì?

Tính chất trực tâm tam giác

Trực tâm của tam giác có tính chất gì? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh quan tâm. Cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:

Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.

Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ một đỉnh của tam giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh đáy tương ứng.

Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tam giác đó đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.

Chứng minh tính chất trực tâm tam giác

  • Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Dựng đường kính BD . Kẻ OI/botBC
  • Vì BD là đường kính ⇒BCDˆ=90∘
  • ⇒DC⊥BC. Mà AH⊥BC
  • ⇒AH||CD
  • Tương tự có AD||CH do cùng vuông góc với AB
  • Vậy ⇒AHCD là hình bình hành
  • ⇒AH=CD(1)

Xét ΔBCD có :

  • O là trung điểm BD
  • OI||CD do cùng vuông góc với BC
  • ⇒OI là đường trung bình của tam giác BCD
  • ⇒OI=CD2(2)
  • Từ (1)(2)⇒AH=CD=2OI

Ví dụ 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) . Dựng đường cao AN,CK . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại điểm thứ hai M . Gọi I là trung điểm AC . Chứng minh rằng IM⊥IB

Cách giải:

Lấy J là trung điểm BH

Vì BKHˆ=BNHˆ=90∘⇒ tứ giác BNHK nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒BMHˆ=90∘ hay BM⊥MH(1)

Theo tính chất trực tâm ta có :

OI=BH2=JH

Mặt khác : {OI⊥ACJH⊥BC⇒OI||JH

⇒OIHJ là hình bình hành

⇒HI||OJ(2)

Do J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH nên ta có :

JM=JB

Mặt khác OM=OB

⇒OJ là đường trung trực của BM

⇒OJ⊥BM(3)

Từ (2)(3)⇒HI⊥BM

Mà từ (1) có MH⊥BM

Từ đó ⇒I,H,M và IM⊥MB

Bài viết trên đây  đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán liên quan đến đường cao trong tam giác. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề đường cao là gì. Chúc bạn luôn học tốt!.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *