phương pháp tọa độ trong không gian oxyz

Phương pháp tọa độ trong không gian là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học 12. Vậy hệ tọa độ không gian là gì? Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 cần ghi nhớ gì? Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ tọa độ trong không gian là gì?

Hệ gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian với:

  • Ox là trục hoành
  • Oy là trục tung
  • Oz là trục cao

Các tính chất cần nhớ:

Các tính chất cần nhớ
Các tính chất cần nhớ
Các tính chất cần nhớ
Các tính chất cần nhớ

Phương trình mặt cầu là gì?

Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình là:

  • (x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2

Phương trình mặt phẳng là gì?

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ pháp tuyến n→(A;B;C) là :

  • A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0

Từ đó ta có, phương trình tổng quát của mặt phẳng là

  • Ax+By+Cz+D=0 với A;B;C không đồng thời bằng 0

Phương trình đường thẳng là gì?

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ chỉ phương a→(a1;a2;a3) là phương trình có dạng

  • x=x0+ta1; y=y0+ta2; z=z0+ta3 với t là tham số

Chú ý: Nếu a1;a2;a3 đều khác 0 thì ta có dạng phương trình chính tắc của Δ :

  • x−x0/a1=y−y0/a2=z−z0/a3

Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12

Dạng toán liên quan đến mặt cầu

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng (x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=R^2

Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12
Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1;2;4) và B(3;2;−2)

Cách giải:

Gọi I là trung điểm AB

⇒I(2;2;1)

⇒IA^2=10

Vậy đường tròn cần tìm có tâm ⇒I(2;2;1) và có bán kính R^2=IA^2=10 nên có phương trình là :

(x−2)^2+(y−2)^2+(z−1)^2=10

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng x^2+y^2+z^2−2ax−2by−2cz−d=0

Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12
Các dạng toán phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm như sau:

A(1;1;2);B(2,1,2);C(1;1;3);D(2;3;2)

Cách giải:

Phương trình mặt cầu tổng quát có dạng :

  • x^2+y^2+z^2−2ax−2by−2cz−d=0

Lần lượt thay tọa độ 4 điểm A,B,C,D vào ta được hệ phương trình :

  • 1^2+1^2+2^2−2a−2b−4c−d=0
  • 2^2+1^2+2^2−4a−2b−2c−d=0
  • 1^2+1^2+3^2−2a−2b−6c−d=0
  • 2^2+3^2+2^2−4a−6b−4c−d=0

  • 2a+2b+4c+d=6
  • 4a+2b+2c+d=92
  • a+2b+6c+d=11
  • 4a+6b+4c+d=17

⇔(a;b;c;d)=(4;3/4;5/2;−27/2)

Vậy phương trình mặt cầu là :

x^2+y^2+z^2−8x−3y/2−5z+27/2=0

Dạng toán liên quan đến mặt phẳng

Các bài toán về lập phương trình mặt phẳng

Dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng toán liên quan đến mặt phẳng
Dạng toán liên quan đến mặt phẳng

Nhìn chung với dạng bài này chúng ta đều cần tìm 2 điều kiện đó là tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;3;3);B(2;1;2);C(1;1;2)

Cách giải:

Ta có:

AB−→−=(1;−2;−1);AC−→−=(0;−2−1)

Vậy véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC là :

n→=[AB−→−.AC−→−]=(0;1;−2)

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC)=(y−3)−2(z−3)=0

Hay (ABC)=y−2z+3=0

Các bài toán mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Các bài toán mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Các bài toán mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Với dạng toán này, chúng ta cần sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) tới mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 là :

d(m,(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là n→=(1;2;1) và tiếp xúc với mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−1)^2+(z−1)^2=4

Cách giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và bán kính R=2

Vì véc tơ pháp tuyến của (P) là n→=(1;2;1) nên phương trình mặt phẳng P là :

x+2y+z+k=0

Vì (P) tiếp xúc (S) nên ta có :

d(I,(P))=|2+2+1+k|/sqrt(1^2+2^2+1^2)=R=2

⇒|k+5|=2sqrt(6)⇒

  • k=2sqrt(6)−5
  • k=−2sqrt(6)−5

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :

x+2y+z+2sqrt(6)−5=0 hoặc x+2y+z−2sqrt(6)−5=0

Dạng toán liên quan đến đường thẳng

Các bài toán viết phương trình đường thẳng

Các bài toán viết phương trình đường thẳng
Các bài toán viết phương trình đường thẳng

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;2) và vuông góc với mặt phẳng (P):x+3y−z+2=0

Cách giải:

Vì d⊥(P) nên véc tơ pháp tuyến của (P) chính là véc tơ chỉ phương của d

Vậy phương trình của đường thẳng d là :

  • x=1+t
  • y=2+3t
  • z=2−t

Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d′ song song với nhau ta làm như sau :

Bước 1: Chọn một điểm M bất kì nằm trên đường thẳng d′

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d . Tìm giao điểm H của mặt phẳng (P) với đường thẳng d

Bước 3: Tính khoảng cách MH . Đây chính là khoảng cách của d,d′

Ví dụ:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

d:x=1+2t;y=2+t;z=1−2t và d′:x=2+2t;y=4+t;z=3−2t.

Cách giải:

Trên đường thẳng d′ lấy điểm M(2;4;3)

Phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d là :

2(x−2)+(y−4)–2(z−3)=0

⇔2x+y−2z−2=0

Giả sử (P)∩d=H(1+2k;2+k;1−2k)

⇒2(1+2k)+(2+k)−2(1−2k)−2=0

⇒k=0⇒H(1;2;1)

Vậy d(d;d′)=d(M,d)=MH=3

Các bài toán về góc

Các bài toán về góc
Các bài toán về góc

Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Trong một số bài toán hình học không gian, ta có thể lợi dụng các tính chất vuông góc để gắn trục tọa độ vào bài toán một cách thích hợp rồi từ đó sử dụng các công thức tọa độ để tính toán dễ dàng hơn. Các bước cụ thể như sau :

Bước 1: Gắn trục tọa độ Oxyz vào bài toán thích hợp

Bước 2: Tính toán để xác định tọa độ các điểm trong bài toán

Bước 3: Sử dụng các công thức tọa độ để tính toán theo yêu cầu của bài toán

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy , SC tạo với đáy một góc bằng 45∘. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

Cách giải:

Ta có :

A(0;0;0)

AB=a⇒B(a;0;0)

AD=0⇒D(0;a;0)

AC=asqrt(2)⇒AS=AC=asqrt(2)⇒S(0;0;asqrt(2))

AB=AC=a⇒C(a;a;0)

Vì vậy :

SC−→=(a;a;−asqrt(2)=(1;1;−sqrt(2))

SD−→−=(0;a;−asqrt(2))=(0;1;−sqrt(2))

Vậy véc tơ pháp tuyến của (SCD) là :

n =[SC−→.SD−→−]=(0;−sqrt(2);1)

Vậy phương trình mặt phẳng (SCD) là :

−sqrt(2)y−z+asqrt(2)=0

Như vậy :

VS.ABCD=1/3.SA.SABCD=a^3sqrt(2)/3

d(B,(SCD))=asqrt(6)/3

Một số câu hỏi phương pháp tọa độ trong không gian trắc nghiệm

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M(10;9;12),N(−20;3;4),−50,−3,−4). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • MN⊥(xOy)
  • MN∈(xOy)
  • MN∥(xOy)
  • M,N,P thẳng hàng

⇒ Đáp án D

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) qua A(−2;1;3) và song song với (Q):x−3y+z+5=0 cắt Oy tại điểm có tung độ là :

  • 1
  • 3
  • 1/3
  • 2/3

⇒ Đáp án D

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α):2x+y+z+5=0 và đường thẳng Δ đi qua M(1;3;2) và có véc tơ chỉ phương u=(3;−1;−3) cắt (α) tại N . Tính độ dài đoạn MN

  • MN=21
  • MN=sqrt(21)
  • MN=sqrt(770)
  • MN=sqrt(684)

⇒ Đáp án D

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm: A(a;0;a);B(0;a;a);C(a;a;0). Mặt phẳng (ABC) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm M,N,P . Thể tích tứ diện OMNP là :

  • 4a^3
  • 8a^3
  • 4a^3/3
  • 8a^3/3

⇒ Đáp án C

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y−4z+7=0. Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox là nhỏ nhất

  • M(0;−3;2)
  • M(2;−2;3)
  • M(1;−1;1)
  • M(1;−3;3)

⇒ Đáp án D

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như ứng dụng của phương pháp tọa độ trong không gian. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian. Chúc bạn luôn học tốt!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *