Chuyên đề Hằng đẳng thức mở rộng cơ bản và nâng cao

Toán họcChuyên đề Hằng đẳng thức mở rộng cơ bản và nâng cao

Ngày đăng:

0
(0)

Cùng với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng cũng được áp dụng nhiều vào giải quyết các bài toán trong đại số cũng như hình học. Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu những hằng đẳng thức mở rộng, cũng như cách chứng minh nhé!

Các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản

Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a+b−c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab−2ac−2bc

(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

Các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản
Các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản

Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

a^3+b^3=(a+b)^3−3ab(a+b)

a^3−b^3=(a−b)^3+3ab(a−b)

a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−ac−bc)

Hằng đẳng thức bậc 4 mở rộng

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

Hằng đẳng thức bậc 5 mở rộng

(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

Hằng đẳng thức bậc 6 mở rộng

(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6

Hằng đẳng thức bậc 7 mở rộng

(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7

Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

Bình phương của n số hạng (n>2)

(a1+a2+a3+…+an−1+an)^2=a^21+a^22+a^23+…+a^2n+2a1a2+2a1a3+…+2a1an+2a2a3…+an−1an

Hằng đẳng thức an+bn ( với n là số lẻ)

a^n+b^n=(a+b)(a^n−1−a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)

Hằng đẳng thức an−bn ( với n là số lẻ)

a^n−b^n=(a−b)(a^n−1+a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)

Hằng đẳng thức an−bn (với n là số chẵn)

Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao
Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

a^n−b^n=(a−b)(a^n−1+a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)

hoặc: =(a+b)(a^n−1−a^n−2b+a^n−3b^2+…−b^n−1)

Cách nhớ:

Lưu ý: Gặp bài toán có công thức an−bn (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:

a^2−b^2=(a+b)(a−b) (viết (a+b) trước )

a^2−b^2=(a−b)(a+b) ( viết (a−b) trước ).

Chú ý: Gặp bài toán an+bn ( với n là số chẵn) hãy nhớ

a^2+b^2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể biến đổi thành tích được.

Nhị thức Newton và tam giác Pascal

Khai triển (A+B) để viết dưới dạng một đa thức với lũy thừa giảm dần của A lần lượt với n=0;1;2;3,…

Ta được:

(A+B)^0=1

(A+B)^1=A+1B

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

(A+B)^3=A^3+3A^2B++3AB^2+B^3

(A+B)^4=A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^3+B^4

(A+B)^5=A^5+5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4+B^5

n=01
n=11 1
n=21 2 1
n=31 3 3 1
n=41 4 6 4 1
n=51 5 10 10 5 1

Nhận xét:

  • Hệ số của số đầu và số cuối luôn bằng 1
  • Hệ số của số hạng nhì và số hạng kế số hạng cuối luôn bằng n
  • Tổng các số mũ của A và B trong mỗi số hạng đều bằng n
  • Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau ( có tính đối xứng)
  • Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng của số liền trên nó cộng với số bên trái của số liền trên đó
Nhị thức Newton và tam giác Pascal
Nhị thức Newton và tam giác Pascal

Nhờ đó, suy ra:

(A+B)^6=A^6+6A^5B+15A^4B^2+20A^3B^3+15A^2B^4+6AB^5+B^6

Bảng các hệ số bên trên gọi là Tam giác Pascal (nhà toán học Pascal (1623-1662)).

Nhà bác học lỗi lạc Newton (1643-1727) đã đưa ra công thức tổng quát sau:

(A+B)^n=A^n+nA^n−1B+n^(n−1)/1.2A^n−2B^2+n(n−1)(n−2)/1.2.3A^n−3B^3+…+n(n−1)/1.2A^2B^n−2+nAB^n−1+B^n

Chứng minh hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đây là cách chứng minh hằng đẳng thức mở rộng đơn giản và nhanh nhất.

Chứng minh hằng đẳng thức mở rộng
Chứng minh hằng đẳng thức mở rộng

Xem thêm:

Trên đây là kiến thức tổng hợp về hằng đẳng thức cơ bản và nâng cao với kiến thức mở rộng, hy vọng cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích trong quá trình học tập của bản thân. Nếu thấy bài viết chủ đề hằng đẳng thức mở rộng này thú vị, đừng quên share lại nha các bạn! Chúc các bạn luôn học tốt!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

Trôn Việt Nam là gì? Vì sao hot rần rần trên TikTok, Facebook?

Những ngày gần đây, giới trẻ bỗng rần rần...

Status là gì? Cách đăng Status lên Facebook, Zalo nhanh, đơn giản nhất

Mạng xã hội dần trở nên phổ biến với...

Cách làm mứt dừa non thơm bùi, mềm dẻo với công thức chuẩn nhất đón Tết

Mứt dừa là loại mứt không thể thiếu trên...

Light novel là gì? Sự khác biệt giữa light novel và manga/anime

Light novel là một khái niệm quen thuộc với...