Cùng với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng cũng được áp dụng nhiều vào giải quyết các bài toán trong đại số cũng như hình học. Hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu những hằng đẳng thức mở rộng, cũng như cách chứng minh nhé!
Nội dung bài viết
Các hằng đẳng thức mở rộng cơ bản
Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
(a+b−c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab−2ac−2bc
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)
a^3+b^3=(a+b)^3−3ab(a+b)
a^3−b^3=(a−b)^3+3ab(a−b)
a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−ac−bc)
Hằng đẳng thức bậc 4 mở rộng
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
Hằng đẳng thức bậc 5 mở rộng
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
Hằng đẳng thức bậc 6 mở rộng
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6
Hằng đẳng thức bậc 7 mở rộng
(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7
Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao
Bình phương của n số hạng (n>2)
(a1+a2+a3+…+an−1+an)^2=a^21+a^22+a^23+…+a^2n+2a1a2+2a1a3+…+2a1an+2a2a3…+an−1an
Hằng đẳng thức an+bn ( với n là số lẻ)
a^n+b^n=(a+b)(a^n−1−a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)
Hằng đẳng thức an−bn ( với n là số lẻ)
a^n−b^n=(a−b)(a^n−1+a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)
Hằng đẳng thức an−bn (với n là số chẵn)
a^n−b^n=(a−b)(a^n−1+a^n−2b+a^n−3b^2+…+b^n−1)
hoặc: =(a+b)(a^n−1−a^n−2b+a^n−3b^2+…−b^n−1)
Cách nhớ:
Lưu ý: Gặp bài toán có công thức an−bn (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:
a^2−b^2=(a+b)(a−b) (viết (a+b) trước )
a^2−b^2=(a−b)(a+b) ( viết (a−b) trước ).
Chú ý: Gặp bài toán an+bn ( với n là số chẵn) hãy nhớ
a^2+b^2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể biến đổi thành tích được.
Nhị thức Newton và tam giác Pascal
Khai triển (A+B) để viết dưới dạng một đa thức với lũy thừa giảm dần của A lần lượt với n=0;1;2;3,…
Ta được:
(A+B)^0=1
(A+B)^1=A+1B
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2
(A+B)^3=A^3+3A^2B++3AB^2+B^3
(A+B)^4=A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^3+B^4
(A+B)^5=A^5+5A^4B+10A^3B^2+10A^2B^3+5AB^4+B^5
| n=0 | 1 |
| n=1 | 1 1 |
| n=2 | 1 2 1 |
| n=3 | 1 3 3 1 |
| n=4 | 1 4 6 4 1 |
| n=5 | 1 5 10 10 5 1 |
| … | … |
Nhận xét:
- Hệ số của số đầu và số cuối luôn bằng 1
- Hệ số của số hạng nhì và số hạng kế số hạng cuối luôn bằng n
- Tổng các số mũ của A và B trong mỗi số hạng đều bằng n
- Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau ( có tính đối xứng)
- Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng của số liền trên nó cộng với số bên trái của số liền trên đó
Nhờ đó, suy ra:
(A+B)^6=A^6+6A^5B+15A^4B^2+20A^3B^3+15A^2B^4+6AB^5+B^6
Bảng các hệ số bên trên gọi là Tam giác Pascal (nhà toán học Pascal (1623-1662)).
Nhà bác học lỗi lạc Newton (1643-1727) đã đưa ra công thức tổng quát sau:
(A+B)^n=A^n+nA^n−1B+n^(n−1)/1.2A^n−2B^2+n(n−1)(n−2)/1.2.3A^n−3B^3+…+n(n−1)/1.2A^2B^n−2+nAB^n−1+B^n
Chứng minh hằng đẳng thức mở rộng
Dưới đây là cách chứng minh hằng đẳng thức mở rộng đơn giản và nhanh nhất.
Xem thêm:
- Ước và bội của một số tự nhiên là gì? Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất là gì?
- Phương trình bậc 2 và nghiệm phương trình bậc 2 đơn giản
- Định nghĩa căn thức bậc hai là gì? Tính chất của căn bậc hai
Trên đây là kiến thức tổng hợp về hằng đẳng thức cơ bản và nâng cao với kiến thức mở rộng, hy vọng cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích trong quá trình học tập của bản thân. Nếu thấy bài viết chủ đề hằng đẳng thức mở rộng này thú vị, đừng quên share lại nha các bạn! Chúc các bạn luôn học tốt!