Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là một dạng toán thường gặp trong chương trình toán thi THPT Quốc Gia. Vậy tâm đối xứng là gì? Đồ thị có tâm đối xứng khi nào? Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị? Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!
Nội dung bài viết
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?
Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có đồ thị (𝐶). Giả sử 𝐼 là một điểm thỏa mãn tính chất: bất kì một điểm 𝐴 thuộc đồ thị (𝐶) nếu lấy đối xứng qua 𝐼 ta được điểm 𝐴′ cũng thuộc (𝐶) thì ta nói 𝐼 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 𝑦=𝑓(𝑥)
Tính chất:
- Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥). Khi đó hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ 𝑂(0;0)⇔𝑓(𝑥).hàm hàm số lẻ : 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)
tâm đối xứng của đồ thị là gì - Giả sử hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) nhận điểm 𝐼(𝑥0;𝑦0) làm tâm đối xứng thì khi đó ta có tính chất:
𝑓(𝑥+𝑥0)+𝑓(−𝑥+𝑥0)=2𝑦0 với mọi 𝑥∈ℝ
***Chú ý:
- Tâm đối xứng có thể nằm ngoài hoặc nằm trên đồ thị hàm số. Nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên ℝ thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm thuộc đồ thị hàm số đó.
- Không phải hàm số nào cũng có tâm đối xứng, chỉ có một vài hàm số nhất định mới có tâm đối xứng.
Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?
Định nghĩa điểm uốn của đồ thị hàm số
Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥). Khi đó điểm 𝑈(𝑥0;𝑦0) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng (𝑎;𝑏) chưa điểm 𝑥0 sao cho trên một trong hai khoảng (𝑎;𝑥0) và (𝑥0;𝑏) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 𝑈 nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Định lý về điểm uốn của đồ thị hàm số
Nếu hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp 2 trên một khoảng chứa điểm 𝑥0 thỏa mãn:
𝑓″(𝑥0)=0 và 𝑓″(𝑥) đổi dấu khi đi qua điểm 𝑥0 thì điểm (𝑥0;𝑓(𝑥0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số 𝑓(𝑥)
Như vậy để xác định điểm uốn của đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) thì ta chỉ cần giải phương trình : 𝑓″(𝑥)=0. Nghiệm của phương trình đó chính là hoành độ của điểm uốn hàm số
***Chú ý: Tọa độ tâm đối xứng của hàm bậc 3 chính là điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 đó. Như vậy một hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.
Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)
Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức chuyển hệ tọa độ
Trong các bài toán về tâm đối xứng thì ta cần tịnh tiến trục tọa độ về điểm tâm đối xứng. Vì thế nên ta cần nắm vững các công thức chuyển trục hệ tọa độ:
Giả sử 𝑥;𝑓(𝑥0) là một điểm trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Phép tịnh tiến theo vectơ 𝑂𝐼−→ biến hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 thành hệ tọa độ 𝐼𝑋𝑌
Giả sử 𝑀 là một điểm bất kỳ của mặt phẳng.
- (𝑥;𝑦) là tọa độ của 𝑀 đối với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦
- (𝑋;𝑌) là tọa độ của 𝑀 đối với hệ tọa độ 𝐼𝑋𝑌
Ta có công thức chuyển hệ tọa độ:
{𝑋=𝑥−𝑥0𝑌=𝑦−𝑦0
Bài tập về tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Để xác định tâm đối xứng của hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) ta thực hiện các bước sau đây :
- Bước 1: Giả sử 𝐼(𝑎;𝑏) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 𝑓(𝑥). Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦→𝐼𝑋𝑌:
{𝑥=𝑋+𝑎𝑦=𝑌+𝑏 - Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:
Ta được hàm số có dạng : 𝑌+𝑏=𝑓(𝑋+𝑎)⇔𝑌=𝑔(𝑋) - Bước 3: Tìm 𝑎;𝑏 để hàm số 𝑔(𝑋) là hàm số lẻ :
𝑔(−𝑋)=−𝑔(𝑋)
Khi đó ta chứng minh được đồ thị hàm số nhận điểm 𝐼(𝑎;𝑏) là tâm đối xứng
Ví dụ:
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số : 𝑦=2𝑥𝑥+1
Cách giải:
Giả sử hàm số nhận điểm 𝐼(𝑎;𝑏) làm tâm đối xứng. Khi đó tịnh tiến trục tọa độ theo véc tơ 𝑂𝐼−→ Ta có :
{𝑥=𝑋+𝑎𝑦=𝑌+𝑏
Vậy hàm số đã cho tương đương với :
𝑌+𝑏=2(𝑋+𝑎)𝑋+𝑎+1
⇔𝑌=2−𝑏−2𝑋+𝑎+1
Để hàm số trên là hàm số lẻ thì :
{2−𝑏=0𝑎+1=0⇔{𝑎=−1𝑏=2
Vậy 𝐼(−1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Tổng kết:
- Hàm số 𝑦=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 với 𝑎≠0 có tâm đối xứng là điểm (−𝑏3𝑎;𝑦(−𝑏3𝑎)). Đây chính là điểm uốn của hàm số bậc 3
- Hàm số 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑 với 𝑐≠0;𝑎𝑑≠𝑏𝑐 có tâm đối xứng là điểm (−𝑑𝑐;𝑎𝑐)
- Hàm số 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑑𝑥+𝑒 với 𝑎,𝑑≠0 có tâm đối xứng là điểm (−𝑒𝑑;𝑦(−𝑒𝑑))
Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận một điểm cho trước làm tâm đối xứng
Bài toán: Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) chưa tham số 𝑚 . Xác định giá trị của 𝑚 để hàm số đã cho nhận điểm 𝐼(𝑎;𝑏) cho trước làm tâm đối xứng
Để giải bài toán trên ta thực hiện các bước sau :
- Bước 1: Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦→𝐼𝑋𝑌:
{𝑥=𝑋+𝑎𝑦=𝑌+𝑏
- Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:
Ta được hàm số có dạng: 𝑌+𝑏=𝑓(𝑋+𝑎)⇔𝑌=𝑔(𝑋)
- Bước 3: Từ hàm số trên tìm điều kiện của 𝑚 để hàm số 𝑔(𝑋) là hàm số lẻ:
𝑔(−𝑋)=−𝑔(𝑋)
Ví dụ:
Tìm giá trị của 𝑚 để hàm số 𝑦=𝑥3−3𝑥2+3𝑚𝑥+3𝑚+2 có tâm đối xứng là điểm 𝐼(1;2)
Cách giải:
Do đây là hàm số bậc 3 nên tâm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của hàm số
Ta có : 𝑦′=3𝑥2−6𝑥+3𝑚⇒𝑦″=6𝑥−6
𝑦”=0⇔𝑥=1
Vậy thay vào ta được tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (1;6𝑚)
Vậy để 𝐼(1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì
6𝑚=2⇔𝑚=13
Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua một điểm cho trước
Bài toán: Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥). Tìm hai điểm 𝐴;𝐵 thuộc đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm 𝐼(𝑎;𝑏) cho trước.
Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất:
Nếu hai điểm 𝐴(𝑥𝐴;𝑦𝐴);𝐵(𝑥𝐵;𝑦𝐵) đối xứng với nhau qua điểm 𝐼(𝑥0;𝑦0) thì
{𝑥𝐴+𝑥𝐵=2𝑥0𝑦𝐴+𝑦𝐵=2𝑦0
Ví dụ:
Cho hàm số 𝑦=𝑥𝑥−3. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm 𝐴,𝐵 sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm 𝐼(0;−1)
Cách giải:
Giả sử hai điểm 𝐴,𝐵 cần tìm có tọa độ là : 𝐴(𝑎;𝑎𝑎−3);𝐵(𝑏;𝑏𝑏−3)
Để hai điểm đối xứng với nhau qua 𝐼(0;−1) thì :
{𝑎+𝑏=0𝑎𝑎−3+𝑏𝑏−3=−1
Thay phương trình (1) vào phương trình (2) ta được :
𝑎𝑎−3+𝑎𝑎+3=−1⇔2𝑎2𝑎2−9=1
⇔2𝑎2=9−𝑎2⇔𝑎2=3⇔𝑎=±3‾√
Vậy ta được hai điểm cần tìm là (\sqrt{3}; \frac{1}{1-\sqrt{3}}) và (-\sqrt{3};- \frac{1}{1+\sqrt{3}})
Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã biết qua một điểm cho trước
Bài toán: Cho hàm số 𝑦=𝑓(𝑥) và điểm 𝐼(𝑎;𝑏). Tìm hàm số 𝑦=𝑔(𝑥) sao cho đồ thị hàm số đó đối xứng với đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) qua điểm 𝐼
Để giải bài toán này thì ta thực hiện các bước như sau :
- Bước 1: Gọi 𝑀(𝑥;𝑦) là một điểm bất kì thuộc hàm số 𝑔(𝑥) cần tìm. Khi đó luôn tồn tại điểm 𝑀′(𝑥0;𝑦0) thuộc đồ thị hàm số 𝑓(𝑥)
- Bước 2: Lập mối quan hệ 𝑀 và 𝑀′
{𝑥0=2𝑎−𝑥𝑦0=2𝑏−𝑦
- Bước 3: Thay vào biểu thức : 𝑦0=𝑓(𝑥0) ta được hàm số cần tìm
Ví dụ:
Cho đường cong (𝐶):𝑥2+𝑥−3𝑥+2 và điểm 𝐼(−1;1). Lập phương trình đường cong (𝐶′) đối xứng với đường cong (𝐶) qua điểm 𝐼
Cách giải:
Gọi 𝑀(𝑥;𝑦) là một điểm bất kì thuộc đường cong (𝐶′) cần tìm. Khi đó luôn tồn tại điểm 𝑀′(𝑥0;𝑦0) thuộc đường cong (𝐶):𝑥2+𝑥−3𝑥+2
Vì 𝑀,𝑀′ đối xứng với nhau qua 𝐼(−1;1) nên ta có :
{𝑥0=−2−𝑥𝑦0=2−𝑦
Do 𝑀′∈(𝐶) nên :
𝑦0=𝑓(𝑥0). Thay vào ta được :
2−𝑦=𝑓(−2−𝑥)⇔𝑦=2−(𝑥+2)2−(𝑥+2)−3−2
⇔𝑦=(𝑥+2)2−𝑥−12=𝑥2+3𝑥+32
Vậy phương trình đường cong (𝐶′) là : 𝑦=𝑥2+3𝑥+32
Các dạng toán về tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về chuyên đề tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề tâm đối xứng của đồ thị. Chúc bạn luôn học tốt!