bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ và logarit là một chuyên đề quan trọng trong toán học 12. Vậy bất phương trình mũ và logarit có dạng thế nào? Cách giải bất phương trình mũ và logarit ra sao? Hãy cùng DINHNGHIA.VN khám phá qua bài viết dưới đây nhé.

Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ

Ở dạng cơ bản, bất phương trình mũ có dạng:

  • ax > b (hoặc ax <b, ax ≥ b, ax ≤ b) với a > 0 và a ≠ 1.

Xét phương trình dạng ax > b:

  • Nếu b ≤ 0 thì phương trình ax > b có tập nghiệm là R.
  • Nếu b > 0 và a > 1 thì ax > b khi và chỉ khi x > logab
  • Nếu b > 0 và a < 1 thì ax > b khi và chỉ khi x < logab
Bất phương trình mũ và logarit
Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình logarit

Ở dạng cơ bản, bất phương trình logarit có dạng:

  • logax > b (hoặc logax < b, logax ≤ b , logax ≥ b) với a > 0 và a ≠ 1.

Xét phương trình logax > b :

  • Với a > 1 ta có logax > b khi và chỉ khi x > ab
  • Với 0 < a < 1 ta có logax > b khi và chỉ khi 0 < x < ab

Định lý về bất phương trình mũ và logarit

Với chuyên đề về bất phương trình mũ và logarit, ta cần nhớ 2 định lý sau:

Định lý 1: Bất phương trình af(x) < aφ(x) với 0< a <1 tương đương với bất phương trình f(x) >φ (x); còn với a > 1 thì tương đương với bất phương trình f(x) < φ(x). {af(x) < aφ(x) 0 < a <1 f(x) > φ(x) {af(x) < aφ(x) a >1 f(x) < φ(x)

Định lý 2: Bất phương trình loga f(x) < loga φ(x) với o < a < 1 tương đương với hệ bất phương trình {f(x) > φ(x) φ(x) >0 ; còn với a >1 thì tương đương với hệ bất phương trình {f(x) < φ(x) f(x) >0. Với bất phương trình dạng loga f(x) >c và a f(x) > d (d > 0) có thể đưa về dạng ở hai định lý trên bằng cách dùng c = loga ac , d = ad .

Sau khi đã nắm rõ hai định lý này, chúng ta hãy cùng tìm hiểu cách giải bất phương trình mũ và logarit nhé.

Định lý về bất phương trình mũ và logarit
Định lý về bất phương trình mũ và logarit

Cách giải bất phương trình mũ và logarit

Dạng 1: Dạng cơ bản

Cách giải một bất phương trình mũ đơn giản như các giải một phương trình mũ đơn giản, ta có thể đặt ẩn phụ hoặc đưa về cùng cơ số…

Ngoài ra, ta có thể logarit hóa, đưa về dạng bất phương trình mũ logarit và đặt các điều kiện để phương trình có nghiệm. Sau khi tìm được kết quả cần đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm thích hợp.

Ví dụ: Giải bất phương trình: 32x+5 3x+2 + 2

Nhận xét rằng 32x+5 = 3. 32(x+2) . Đặt 3x+2 = t (t > 0) đi đến bất phương trình

3t2 – t – 2 ≤ 0. Giải BPT này tìm được -23 ≤ t ≤1. Từ đó: {3x+2-23 3x+2 ≤ 3 khi và chỉ khi x ≤ -2

Với một bất phương trình logarit, ta cũng đưa về cùng cơ số theo cách đưa về cùng cơ số:

  • Với a > 1 ta có loga f(x) > loga g(x) khi và chỉ khi g(x) > 0 và f(x) < g(x).
  • Với 0 < a <1 có loga f(x) > loga g(x) khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: g(x) > 0 và f(x) < g(x).

Đồng thời ta cũng có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ.

Dạng 2: bất phương trình mũ và logarit có chứa tham số

Đây là một dạng về bất phương trình mũ và logarit khó. Với dạng bài này, ta có thể đặt ẩn phụ để triệt tiêu tham số hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số và kẻ bảng biến thiên.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để cho BPT sau có nghiệm:

loga+x x(a-x)< loga+x x

Hướng dẫn:

Với các điều kiện: x > 0, a+x > 0, a – x > 0, a + x ≠ 1 thì BPT trên tương đương với BPT loga+x (a-x) < 0.

BPT có nghiệm nếu thỏa mãn hệ điều kiện:

  • {x>0 x>-a x>a a+x> 1 a-x<1 hoặc: {x>0 x>-a x<a a+x< 1 a-x>1

Tiếp theo, ta sử dụng đồ thị để xác định tập nghiệm của bất phương trình.

Để tìm hiểu thêm về các dạng bài tập, ví dụ và cách giải, chúng ta có thể tìm kiếm các bài giảng và dạng bài tập trên internet với từ khóa: bất phương trình mũ và logarit violet.

Cách giải bất phương trình mũ và logarit
Cách giải bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ và logarit là một chuyên đề khó trong toán học 12. Vì thế ta cần thật tập trung khi học phần kiến thức này. Hi vọng qua bài viết trên đây, chúng ta đã hiểu bất phương trình mũ và logarit có dạng thế nào và cách giải bất phương trình mũ và logarit.

Leave a Reply

Your email address will not be published.