Số phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số phức

Toán họcSố phức là gì? Modun số phức? Bài tập công thức số...

Ngày đăng:

0
(0)

Số phức là gì? Ứng dụng của số phức như nào? Kiến thức về các phép toán số phức? Thế nào là số phức nghịch đảo, số phức liên hợp?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về chủ đề số phức, cùng tìm hiểu nhé!

Tìm hiểu về số phức là gì?

Định nghĩa số phức là gì?

Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và (i^{2}= -1)

Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Nhận xét về số phức

  • Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0
  • Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
  • Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.

Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau Leftrightarrow a = c và b = d

Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i

Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên (left{begin{matrix} 2x + 1 = x + 2 & 3y = y + 2 & end{matrix}right.)

Suy ra x = 1, y = 1

Mô đun của số phức

Khái niệm module của số phức là gì?

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của (vec{OM}) chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.

Ta có: |z|=(|vec{OM}|) = |a+bi|=(sqrt{a^{2}+b^{2}})

Tìm hiểu về số phức là gì?
Tìm hiểu về số phức là gì?

Có thể bạn quan tâm:

Số phức liên hợp là gì?

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là (bar{z}=a-bi)

Ví dụ: z = 1 + 2i thì (bar{z}=1 – 2i)

Một số tính chất của số phức liên hợp:

Một số tính chất của số phức liên hợp
Một số tính chất của số phức liên hợp

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định được bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.

Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Biểu diễn hình học của số phức
Biểu diễn hình học của số phức

Các phép toán với số phức

Cộng trừ số phức

Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi

Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức

Cho z = a + bi và z’ = c + di.

Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i

(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thực

Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Ví dụ : (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – (12i^{2}) = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức (z = a + bi neq 0) là (z^{-1} = frac{1}{z} = frac{bar{z}}{left | z right |^{2}})

Hay (frac{1}{a + bi} = frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}})

Cho hai số phức (z = a + bi neq 0) và (z’ = a’ + b’i)

Thì (frac{z}{z’} = frac{z’bar{z}}{left | z right |^{2}})

hay (frac{a’ + b’i}{a + bi} = frac{(a’ + b’i)(a – bi)}{a^{2} + b^{2}})

Ví dụ: Tìm (z=frac{4+2i}{1+i})

Giải: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.

Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:

(1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)

=> 2z = 6 – 2i

=> z = 3 – i

Vậy: (3-i=frac{4+2i}{1+i})

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức cho số phức z với (zneq 0) được biểu diễn bởi vector (vec{OM}) với M(a;b).

Góc lượng giác ((vec{Ox},vec{OM}) = varphi + 2kpi , kepsilon mathbb{Z})

Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.

Gọi (varphi) là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:

(z=r(acosvarphi +isinvarphi ))

Với (r=sqrt{a^2+b^2}) và (varphi) định bởi (cosvarphi =frac{a}{r}) và (sinvarphi =frac{b}{r})

Ghi chú:

  • |z| = 1 (Leftrightarrow) (z=(cosvarphi +isinvarphi )), (varphi in R)
  • z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý.

Nhân chia số phức ở dạng lượng giác:

Cho (z=r(cosvarphi +isinvarphi )), (z’=r’(cosvarphi’ +isinvarphi’)) (r >0, r’ >0)

(z.z’=r.r’(cos(varphi+varphi’) +isin(varphi+varphi’) ))

(frac{z}{z’}=frac{r}{r’}[cos(varphi -varphi ‘)+isin(varphi -varphi ‘)]) khi r > 0

Ứng dụng của số phức là gì?

Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình

Xét hệ phương trình (left{begin{matrix} f(x;y) = g(x;y) (1) & h(x;y) = k(x;y) (2) & end{matrix}right.)

Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được:

f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i (*)

Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…

Ví dụ: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x + frac{3x – y}{x^{2}+y^{2}} = 3 (1) & y = frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} (2)& end{matrix}right.)

Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được:

(x + yi + frac{(3x-y)-(x + 3y)i}{x^{2} + y^{2}} = 3)

(Leftrightarrow x + yi+ frac{3(x – yi)}{x^{2} + y^{2}} – frac{(x-yi)i}{x^{2} + y^{2}} = 3 (*))

Đặt z = x + yi với x, y (epsilon mathbb{R}).

(Rightarrow (*) Leftrightarrow z + frac{(3 – i)bar{z}}{left | z right |^{2}} = 3 Leftrightarrow z + frac{(3 – i)}{z} = 3)

(Leftrightarrow) z = 2 + i hoặc z = 1 – i

(x + yi = 2 + i Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 2 & y = 1 & end{matrix}right.)

(x + yi = 1 – i Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 & y = -1 & end{matrix}right.)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)

Xem thêm:

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về số phức là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng về chủ đề bài viết số phức là gì, các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé!

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết

Hãy để lại bình luận

Xem nhiều

Bài tin liên quan

1 độ bằng bao nhiêu rad? Cách đổi độ sang radian chính xác nhất

Đơn vị độ và radian thường được sử dụng...

Phản ứng thế là gì? Phân loại, ví dụ minh họa, bài tập thực hành

Trong chương trình hóa học, ngoài các phản ứng...

Kìn chá nà là gì? Quền chá nà là gì trên TikTok?

"Kìn chá nà", "quền chá nà" trên TikTok có...

14/3 là ngày gì? Ai tặng quà cho ai? Ý nghĩa ngày Valentine trắng

Ngày 14/3 hằng năm là ngày Valentine trắng. Mọi...