Hai mặt phẳng vuông góc là gì? Bài tập 2 mặt phẳng vuông góc

Chương trình toán học lớp 11 bao gồm chuyên đề quan trọng về hai mặt phẳng vuông góc. Vậy cụ thể hai mặt phẳng vuông góc là gì? Tính chất 2 mặt phẳng vuông góc? Chuyên đề và bài tập 2 mặt phẳng vuông góc như nào?… Trong bài viết cụ thể dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu nhé!

Chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc là gì?

Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 90∘.

(𝑃)⊥(𝑄)⇔((𝑃),(𝑄)ˆ)=90∘

Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này và có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

{𝑑𝑑⊥(𝑄)⊂(𝑃)⇒(𝑃)⊥(𝑄).

Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc
Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

  • Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(𝑃)𝑎(𝑃)𝑎⊥(𝑄)⊂(𝑃)∩(𝑄)=⊥𝑏𝑏⇒𝑎⊥(𝑄)

  • Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau và thì đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(𝑃)𝐴𝐴𝑎⊥(𝑄)∈(𝑃)∈⊥(𝑄)𝑎⇒𝑎⊂(𝑃)

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
  • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

⎧⎩⎨⎪⎪(𝑃)(𝑃)(𝑄)∩(𝑄)=𝑎⊥(𝑅)⊥(𝑅)⇒𝑎⊥(𝑅).

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0

với 𝐴2+𝐵2+𝐶2>0

Do đó muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta phải cần xác định được 2 dữ kiện:

  • Điểm M bất kì mà mặt phẳng đã đi qua
  • Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz

Cho 2 mặt phẳng (𝑃):𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0và (𝑄):𝐴′𝑥+𝐵′𝑦+𝐶′𝑧+𝐷′=0

thì ta có 2 mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: 𝐴𝐴′+𝐵𝐵′+𝐶𝐶′+𝐷𝐷′=0.

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau

  • Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
  • Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là 90∘.

Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (𝛼)

  • Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
  • Cách 2: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, khi một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Kết quả:

  • 𝑆′=𝑆𝑐𝑜𝑠𝜑
  • Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).

Các dạng bài tập hai mặt phẳng vuông góc

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản

Cho hình chóp𝑆𝐴𝐵𝐶 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: (𝑆𝐴𝐵)⊥(𝑆𝐵𝐶),(𝐴𝐻𝐾)⊥(𝑆𝐵𝐶).

Cách giải:

  • Chứng minh (𝑆𝐴𝐵)⊥(𝑆𝐵𝐶):

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ta có: Tam giác ABC vuông tại B ⇒𝐴𝐵⊥𝐵𝐶(1).

𝑆𝐴⊥(𝐴𝐵𝐶)⇒𝑆𝐴⊥𝐵𝐶(2).

Từ (1) và (2) ⇒𝐵𝐶⊥(𝑆𝐴𝐵),𝐵𝐶⊂(𝑆𝐵𝐶)⇒ (𝑆𝐴𝐵)⊥(𝑆𝐵𝐶)

(đpcm).

  • Chứng minh(𝐴𝐻𝐾)⊥(𝑆𝐵𝐶):

Ta có: 𝐵𝐶⊥(𝑆𝐴𝐵)⇒𝐵𝐶⊥𝐴𝐻(3).

H là hình chiếu vuông góc của A (gt) ⇒𝑆𝐵⊥𝐴𝐻(4).

Từ (3) và (4) ⇒𝐴𝐻⊥(𝑆𝐵𝐶),𝐴𝐻⊂(𝐴𝐻𝐾)⇒(𝐴𝐻𝐾)⊥(𝑆𝐵𝐶) (đpcm).

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc trong không gian

Bài 4 SGK toán 11 2 mặt phẳng vuông góc

Cho hai mặt phẳngΔ và (𝛽) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong Δ và Δ vuông góc với d thì Δ vuông góc với (𝛽).

Cách giải:

Ta có:

{ΔΔ⊂⊥(𝛼)𝑑⇒Δ∩𝑑={𝐴}

Từ A, kẻ đường thẳng a: {𝑎𝑎∈⊥(𝛽)𝑑

Do (𝛼)⊥(𝛽)⇒((𝛼),𝑎ˆ)=90∘ hay Δ⊥𝑑

Từ đó suy ra: Δ⊥(𝑑,𝑎) hay Δ⊥(𝛽)

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc trong không gian

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc. Chúc bạn luôn học tốt!Hai mặt phẳng vuông góc là gì? Bài tập 2 mặt phẳng vuông góc

Leave a Reply

Your email address will not be published.