Công thức tính độ dài cung tròn, đường tròn và bài tập ví dụ

Công thức tính độ dài cung tròn, đường tròn là một trong những công thức quan trọng của môn toán trong chương trình giáo dục Trung học phổ thông. Vậy cách tính toán, công thức  cụ thể của độ dài cung tròn, đường tròn. Trong bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.COM.VN tìm hiểu về chủ đề này nhé.

Cung là gì?

Trong hình học, cung (ký hiệu: ⌒)

Trong hình học, “cung” (hoặc “đoạn cung”) là một phần của đường tròn hoặc đường cong. Khi nói đến đường tròn, cung là phần của đường tròn giữa hai điểm trên nó.

Cung có thể được xác định thông qua hai điểm trên đường tròn hoặc thông qua một góc tại tâm đường tròn. Cung nhỏ hơn nửa đường tròn được gọi là “cung nhỏ”, trong khi cung lớn hơn nửa đường tròn được gọi là “cung lớn”.

Dựa vào góc tạo ra bởi cung tại tâm đường tròn, cung có thể được phân loại thành:

• Cung nhỏ (hoặc cung ngắn): Góc tạo ra nhỏ hơn 180∘180∘.
• Cung lớn (hoặc cung dài): Góc tạo ra lớn hơn 180∘180∘.

Cung cũng là khái niệm quan trọng trong nhiều vấn đề và công thức trong hình học đường tròn.

Cung tròn là gì?

“Cung tròn” là một phần của đường tròn giữa hai điểm trên nó. Cụ thể hơn, nếu bạn chọn hai điểm bất kỳ trên một đường tròn và vẽ một đoạn nối giữa chúng trên đường tròn đó, đoạn đó được gọi là cung tròn.

Đơn vị đo góc và cung tròn

• Đơn vị độ

Đường tròn bán kính R có độ dài 2πR  và có số đo360∘.

Cung tròn 1∘ có độ dài 2πR360∘=πR180∘.

Cung tròn a∘ có độ dài πR180∘a

• Đơn vị radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

• Quan hệ giữa độ và radian

1∘=π180rad

và 1rad=(180π)∘

Công thức tính độ dài cung tròn, đường tròn

Độ dài của một đường tròn, hay còn được gọi là chu vi hình tròn (ký hiệu là C). Để tính độ dài C của một đường tròn có bán kính R, chúng ta có thể sử dụng công thức: C = 2πR. Để tính độ dài của một cung tròn, chúng ta có thể sử dụng công thức l = πrn/180, trong đó n là số đo của góc ở tâm của cung tròn.

Công thức tính độ dài cung tròn

Để tính độ dài cung tròn, bạn có thể sử dụng công thức

l = πrn/180 

• $L$ là độ dài của cung tròn.
• $n$ là số đo của góc ở tâm của cung tròn (đo theo độ).
• $r$ là bán kính của đường tròn mà cung tròn nằm trên.

Công thức tính độ dài đường tròn

$C=2\pi R$

Trong đó:

• $C$ là độ dài của đường tròn (chu vi hình tròn).
• $\pi$ (pi) là một hằng số xấp xỉ bằng 3.14159.
• $R$ là bán kính của đường tròn.

Bài tập ví dụ về công thức tính độ dài cung tròn

Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, cung tròn hoặc các đại lượng liên quan

Bài tập 1: Tính độ dài đường tròn Bán kính của đường tròn là 6 cm. Hãy tính độ dài của đường tròn.

Đáp án: C = 2πR = 2π(6) = 12π cm

Bài tập 2: Tính độ dài cung tròn Cho một đường tròn có bán kính 10 cm. Tính độ dài của một cung tròn tạo bởi một góc 45 độ ở tâm.

Đáp án: l = πRn/180 = π(10)(45)/180 = 2.5π cm

Bài tập 3: Tính chu vi đường tròn từ đường kính Nếu đường kính của một đường tròn là 14 cm, hãy tính chu vi của đường tròn.

Đáp án: C = πD = π(14) = 14π cm

Bài tập 4: Tính bán kính từ độ dài chu vi Một đường tròn có độ dài chu vi là 20π cm. Tính bán kính của đường tròn.

Đáp án: C = 2πR => 20π = 2πR => R = 10 cm

Bài tập 5: Tính độ dài cung tròn Một đường tròn có bán kính 8 cm. Tính độ dài của một cung tròn có góc 120 độ.

Đáp án: l = πRn/180 = π(8)(120)/180 = 8π cm

Dạng 2: So sánh độ dài 2 cung

Bài tập 1: So sánh độ dài của 2 cung tròn Cho hai cung tròn A và B trên cùng một đường tròn, với bán kính R. Góc tạo bởi cung A là 60 độ và góc tạo bởi cung B là 90 độ. So sánh độ dài của cung A và cung B.

Đáp án: Độ dài cung A: lA = πRnA/180 = πR(60)/180 = πR/3 Độ dài cung B: lB = πRnB/180 = πR(90)/180 = πR/2

Vì πR/3 < πR/2, nên cung A có độ dài nhỏ hơn cung B.

Bài tập 2: So sánh độ dài của 2 cung tròn Trong một đường tròn có bán kính R, cung A có góc 30 độ và cung B có góc 45 độ. So sánh độ dài của cung A và cung B.

Đáp án: Độ dài cung A: lA = πRnA/180 = πR(30)/180 = πR/6 Độ dài cung B: lB = πRnB/180 = πR(45)/180 = πR/4

Vì πR/6 < πR/4, nên cung A có độ dài nhỏ hơn cung B.

Bài tập 3: So sánh độ dài của 2 cung tròn Trong một đường tròn có bán kính R, cung A có góc 90 độ và cung B có góc 120 độ. So sánh độ dài của cung A và cung B.

Đáp án: Độ dài cung A: lA = πRnA/180 = πR(90)/180 = πR/2 Độ dài cung B: lB = πRnB/180 = πR(120)/180 = 2πR/3

Vì πR/2 > 2πR/3, nên cung A có độ dài lớn hơn cung B.

Bài tập 4: So sánh độ dài của 2 cung tròn Trong một đường tròn có bán kính R, cung A có góc 150 độ và cung B có góc 180 độ. So sánh độ dài của cung A và cung B.

Đáp án: Độ dài cung A: lA = πRnA/180 = πR(150)/180 = 5πR/6 Độ dài cung B: lB = πRnB/180 = πR(180)/180 = πR

Vì 5πR/6 < πR, nên cung A có độ dài nhỏ hơn cung B.

Bài tập 5: So sánh độ dài của 2 cung tròn Trong một đường tròn có bán kính R, cung A có góc 120 độ và cung B có góc 135 độ. So sánh độ dài của cung A và cung B.

Đáp án: Độ dài cung A: lA = πRnA/180 = πR(120)/180 = 2πR/3 Độ dài cung B: lB = πRnB/180 = πR(135)/180 = 3πR/4

Vì 2πR/3 < 3πR/4, nên cung A có độ dài nhỏ hơn cung B.

Xem thêm:

• Diện tích hình tròn và công thức tính diện tích hình tròn
• Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
• Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Trên đây là lý thuyết, cách giải cũng như một số dạng bài tập về chủ đề công thức tính độ dài đường cong, hy vọng đã hữu ích cho bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!