đường phân giác là gì

Đường phân giác của một góc là bài học quan trọng nằm trong chương trình toán 8 THCS. Vậy tia phân giác là gì? Tính chất đường phân giác trong tam giác như nào?… Có thể thấy, bên cạnh đường trung tuyến và trung trực thì đường phân giác cũng có những tính chất thú vị, đặc biệt là trong tam giác vuông. Vậy tính chất tia phân giác của một góc có gì đặc biệt? Đặc điểm của đường phân giác trong tam giác vuông như nào?… Cùng theo dõi bài viết ngay dưới đây của DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn giải đáp những thắc mắc liên quan đến chủ đề tính chất đường phân giác, cùng tìm hiểu nhé!

Nội dung bài viết

Tìm hiểu về Góc trong toán học

Trước khi tìm hiểu tính chất đường phân giác của tam giác, ta cần nắm rõ về những khái niệm chung nhất về góc, số đo góc, hai góc bù nhau, phụ nhau, hai góc kề bù….

Định nghĩa góc là gì?

Theo định nghĩa thì góc trong hình học chính là hình gồm hai tia chung gốc. Gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc. Hai tia chính là hai cạnh của góc.

Về bản chất thì góc chính là những gì nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nhất định. Hai cạnh ở đây chính là hai tia.

Kí hiệu: xOyˆ;AOBˆ… (viết đỉnh ở giữa) hoặc Oˆ

Định nghĩa góc là gì?
Định nghĩa góc là gì?

Ví dụ:

Những hình ảnh thực tế về góc: Góc tạo thành bởi kim giờ và kim phút của đồng hồ, hình mái nhà, hai cạnh của thước xếp…

Một số hình ảnh về góc bẹt cụ thể như: Quyển vở mở ra, góc tạo thành bởi kim giờ và kim phút lúc 6 giờ…

Điểm nằm trong góc

Khi hai tia Ox và Oy không đối nhau, điểm M gọi là điểm nằm trong góc xOyˆ nếu tia OM nằm giữa hai tia Ox và Oy . Khi đó tia OM nằm trong góc xOyˆ.

Nếu tia OM nằm trong góc xOyˆ thì mọi điểm thuộc tia OM đều nằm trong góc xOyˆ.

Định nghĩa góc bẹt

Góc bẹt theo định nghĩa chính là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau.

Ví dụ:

Trong hình trên thì góc xOyˆ do hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau.

Số đo góc là gì?

Mỗi góc sẽ có một số đo xác định, lớn hơn 0∘ và không vượt quá 180∘ . Số đo của góc bẹt là 180∘

Cách tính số đo góc

Ta có xOyˆ=180∘

Độ được chia thành các đơn vị thấp hơn là phút và giây, cụ thể:

  • 1 Độ = 60 phút
  • 1 Phút = 60 giây

Nhận xét: Người ta thường dùng thước đo góc để đo góc. Góc thường được quy ước đo theo chiều của kim đồng hồ.

Trong hệ đo lường quốc tế, góc được đo bằng radian. Một góc bẹt bằng pi radian.

Cách so sánh hai góc

  • Góc Aˆ và Bˆ được gọi là bằng nhau nếu như số đo của chúng bằng nhau. Kí hiệu Aˆ=Bˆ
  • Góc Aˆ có số đo lớn hơn số đo của góc Bˆ thì góc Aˆ lớn hơn góc Bˆ .Kí hiệu Aˆ>Bˆ

Hai góc đối đỉnh là gì?

Khái niệm hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh theo định nghĩa chính llà hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Ví dụ:

Ta có góc O1ˆ đối đỉnh với góc O3ˆ ⇒O1ˆ=O3ˆ

Ta có góc O2ˆ đối đỉnh với góc O4ˆ ⇒O2ˆ=O4ˆ

Các loại góc trong toán học

Góc vuông là gì?

Định nghĩa góc vuông: Trong toán học, góc vuông được định nghĩa là góc có số đo bằng 90∘ . Số đo của góc vuông còn được kí hiệu là 1v.

Ta có góc xOyˆ là góc vuông.

Góc nhọn là gì?

Góc nhọn theo định nghĩa chính là góc có số đo lớn hơn 0∘ và nhỏ hơn 90∘ .

Ta có góc xOyˆ là góc nhọn.

Góc tù là gì?

Góc tù theo định nghĩa chính là góc có số đo lớn hơn 90∘ và nhỏ hơn 180∘ .

Ta có góc xOyˆ là góc tù.

Góc bẹt là gì?

Góc bẹt theo định nghĩa chính là góc có số đo bằng 180∘ . Hai tia đối nhau tạo thành một góc bẹt. Hai góc bù nhau sẽ có tổng số đo bằng một góc bẹt. Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau lại vừa bù nhau và có số đo bằng 1 góc bẹt.

Mối quan hệ giữa hai góc

Tính chất cộng số đo hai góc

Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOyˆ+yOzˆ=xOzˆ

Ngược lại nếu xOyˆ+yOzˆ=xOzˆ thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

Tính chất cộng số đo hai góc
Tính chất cộng số đo hai góc

Lưu ý:

Ta có thể dùng mệnh đề tương đương sau với tính chất trên:

Nếu xOyˆ+yOzˆ≠xOzˆ thì tia Oy không nằm giữa hai tia Ox và Oz

2. Tính chất cộng liên tiếp: Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Ot ; tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot thì: xOyˆ+yOzˆ+tOzˆ=xOtˆ

Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau

Hai góc kề nhau theo định nghĩa chính là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa cạnh chung.

Hai góc phụ nhau theo định nghĩa chính là hai góc có tổng số đo bằng 90∘

Hai góc bù nhau theo định nghĩa chính là hai góc có tổng số đo bằng 180∘

Ví dụ:

Hai góc xOyˆ và yOzˆ là hai góc kề nhau

Tiếp theo chúng ta hãy tìm hiểu về đường phân giác của một góc là gì?

Tính chất: Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với một góc thứ 3 thì sẽ bằng nhau.

Định nghĩa hai góc kề bù là gì?

Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau vừa bù nhau. Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘

Ví dụ:

Ta có Oz và Ox là hai tia đối nhau. Ta có hai góc xOyˆ và yOzˆ là hai góc kề bù.

Định nghĩa đường phân giác là gì?

Khái niệm đường phân giác: Đường phân giác của một góc sẽ chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Trong toán học thì bất kỳ góc nào cũng chỉ có duy nhất một đường phân giác.

Ví dụ:

Góc BACˆ có đường thẳng AD sao cho góc BADˆ=DACˆ nên theo định nghĩa đường phân giác thì đường thẳng AD là đường phân giác của góc BACˆ

Tính chất tia phân giác của một góc

Cùng tìm hiểu về tính chất tia phân giác của một góc dưới đây:

Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Oz là tia phân giác của góc xOyˆ. M∈Oz . MA⊥Ox;MB⊥Oy

⇒MA=MB

Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Ví dụ:

M nằm trong góc xOyˆ

Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Dụng cụ:

Dụng cụ
Dụng cụ

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc
Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc

Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Cách vẽ đường phân giác của một góc, ta dùng thước thẳng và compa, đầu tiên vẽ một đường tròn có tâm là đỉnh của góc. Đường tròn cắt hai đường thẳng tạo thành góc tại hai điểm. Tiếp tục ta dùng compa, lấy mỗi điểm này làm tâm rồi vẽ hai đường tròn có cùng bán kính. Các điểm giao cắt nhau của hai đường tròn (hai điểm) sẽ tạo thành đường phân giác của góc.

Ví dụ: Dựng đường phân giác của góc Kˆ

  • Bước 1: Vẽ một đường tròn tâm K bán kính bất kì, cắt hai tia của góc lần lượt ở I và J
  • Bước 2: Dựng hai đường tròn có cùng bán kính tâm I và J cắt nhau ở L
  • Bước 3: Tia KL chính là đường phân giác cần tìm.
Cách vẽ tia phân giác bằng compa
Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Cách vẽ tia phân giác bằng thước hai lề

Cách vẽ tia phân giác bằng thước hai lề
Cách vẽ tia phân giác bằng thước hai lề

Cách vẽ tia phân giác bằng thước eke

Dưới đây là cách vẽ tia phân giác bằng thước eke và thước có chia khoảng.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước eke
Cách vẽ tia phân giác bằng thước eke

Cách vẽ tia phân giác bằng thước có chia khoảng

Cách vẽ tia phân giác bằng thước có chia khoảng
Cách vẽ tia phân giác bằng thước có chia khoảng

Dùng thước và compa để chia đường tròn

Dùng thước và compa để chia đường tròn thành 5 phần

Đây là bài toán dựng ngũ giác đều. Có rất nhiều cách dựng chỉ dùng compa và thước kẻ. Sau đây là một cách tôi cho là hay và dễ nhớ nhất:

  • Giả sử muốn chia đường tròn tâm O thành 5 phần bằng nhau.
  • Ta lấy một đường kính AB bất kỳ.
  • Qua tâm O dựng đường vuông góc với AB cắt đường tròn tại C .
  • Dựng M là điểm giữa OC
  • Lấy M làm tâm, dựng đường tròn đi qua A và B . Đường tròn này cắt đường thẳng CO tại điểm D bên trong đường tròn (O) .
  • Lấy B làm tâm, dựng đường tròn qua D . Đường tròn này cắt đường tròn (O) tại E và F .
  • Lấy E làm tâm, dựng đường tròn qua B . Đường tròn này cắt đường tròn (O) tại G khác B .
  • Lấy F làm tâm, dựng đường tròn qua B . Đường tròn này cắt đường tròn (O) tại H khác B .
  • B,E,G,H và F là 5 đỉnh của ngũ giác đều và chia đường tròn (O) thành 5 phần bằng nhau. Góc EOBˆ=72∘ .

Cách chia đường tròn thành 7 phần bằng nhau

Giả sử phải chia vòng tròn ra làm 7 phần bằng nhau ta làm như sau:

  • Vẽ AB vuông góc với CD
  • Chia đường kính CD ra làm 7 phần bằng nhau bằng các điểm 1′, 2′, 3′, 4′ …
  • Tâm D , bán kính DC vẽ cung tròn cắt AB kéo dài tại E và F .
  • Từ E và F kẻ các tia tới các điểm 2′, 4′, 6′(Hoặc các điểm lẻ 1′, 3′, 5′ ta sẽ nhận được các điểm chia).

Cách viết phương trình đường phân giác của một góc

Để viết phương trình đường phân giác của góc thì chúng ta cần hiểu được khái niệm đường phân giác cũng như các tính chất của đường phân giác. Sau khi nắm rõ về đường phân giác rồi thì cần sử dụng linh hoạt các tính chất đó vào các bài toán cụ thể.

Bên cạnh đó, ta cũng cần sử dụng đến công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng. Có một số cách viết phương trình đường phân giác của góc nhưng trong bài viết này sẽ gợi ý cho bạn một cách điển hình.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Đầu tiên ta cần biết công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trên hệ trục toạ độ Oxy .

Cho đường thẳng d có phương trình Ax+By+C=0 và một điểm M(x0;y0) . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d(M,d)=|A.x0+B.y0+C|/sqrt(A^2+B^2)

Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cách viết phương trình đường phân giác của góc trong tam giác

Giả sử cho tam giác ΔABC và yêu cầu viết phương trình đường phân giác AD của góc Aˆ

Bước 1: Gọi H(x;y) là điểm bất kì thuộc đường phân giác AD

Bước 2: Tính khoảng cách d1 và d2 từ H tới đường thẳng AB;AC

Bước 3: Giải phương trình d1=d2 . Tới đây các bạn có được hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu bài toán hỏi đường phân giác nào thì biện luận lấy đường phân giác đó

Để tính được khoảng cách từ H tới hai cạnh của góc thì các bạn cần phải viết được phương trình đường thẳng AB và AC . Điều này thì bài toán có thể cho trước phương trình hai cạnh hoặc có thể cho tọa độ 3 điểm A;B;C . Cũng có những bài toán thì chúng ta cần đi tìm những yếu tố này trước rồi mới tính được.

Áp dụng viết phương trình đường phân giác cho trường hợp cụ thể

Bài tập áp dụng: Cho tam giác ΔABC có A(−6,−3);B(−4,3);C(9,2) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc Aˆ của tam giác ΔABC.

Hướng dẫn giải:

Theo như các bước giải trình bày ở trên thì bài toán này chúng ta đã biết tọa độ 3 điểm. Để viết được phương trình đường phân giác trong góc Aˆ chúng ta phải đi viết phương trình đường thẳng AB;AC .

Gọi d là đường phân giác trong góc Aˆ và H(x;y) là điểm bất kì thuộc đường thẳng d .

Viết phương trình đường thẳng AB :

  • Ta có: AB→(2;6)vecto(u) AB(1;3) . Vậy vecto(n) AB(3;−1) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB .
  • Phương trình đường thẳng AB đi qua A(−6;−3) có phương trình là:
  • 3(x+6)−1(y+3)=0⇔3x−y+15=0
Áp dụng viết phương trình đường phân giác cho trường hợp cụ thể
Áp dụng viết phương trình đường phân giác cho trường hợp cụ thể

Viết phương trình đường thẳng AC :

  • Ta có: AC→(15;5)vecto(u) AC(3;1) . Vậy vecto(n) AC(1;−3) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AC .

Phương trình đường thẳng AC đi qua A(−6;−3) có phương trình là:

  • 1(x+6)−3(y+3)=0⇔x−3y−3=0

Khoảng cách từ H tới đường thẳng AB và AC

  • d(H,AB)=|3x−y+15|/sqrt(9+1)=|3x−y+15|/sqrt(10)
  • d(H,AC)=|x−3y−3|/sqrt(9+1)=|x−3y−3|/sqrt(10)

Vì H là điểm thuộc đường phân giác góc Aˆ nên ta có:

d(H,AB)=d(H,AC)

⇔|3x−y+15|/sqrt(10)=|x−3y−3|/sqrt(10)

⇔|3x−y+15|=|x−3y−3|

⇔[3x−y+15=x−3y−3

3x−y+15=−x+3y+3

⇔$[x+y+9=0

x−y+3=0 $

Xác định đường phân giác trong, phân giác ngoài

Tới đây ta được hai phương trình đường phân giác của góc Aˆ . Tuy nhiên ta phải chọn ra một phương trình là đường phân giác trong, một phương trình là đường phân giác ngoài của góc Aˆ. Để chọn ra được các bạn làm như sau:

Lấy tọa độ điểm B và điểm C thay vào một trong hai phương trình, sau đó xét tích của chúng. Nếu tích dương thì đó là đường phân giác ngoài, nếu tích âm thì đó là đường phân giác trong.

Thay tọa độ của điểm B(−4;3) và C(9;2) vào phương trình x+y+9=0 và xét tích của chúng, ta có: (−4+3+9).(9+2+9)=8.20=160>0

Do đó x+y+9=0 là phương trình đường phân giác ngoài.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc Aˆ là: x−y+3=0

Trên đây chỉ là một phương pháp, phương pháp này hay được sử dụng. Ngoài phương pháp này còn có một số cách khác nữa.

Luyện tập viết phương trình đường phân giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ΔABC có A(2;3);B(1;1);C(6;5) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc Aˆ của tam giác ΔABC.

Bài 2: Cho tam giác ΔABC có A(−6,−3);B(−4,3);C(9,2) . Tìm D thuộc đường phân giác trong d của góc Aˆ để ABDC là hình thang.

Lời giải bài 2: Như trên ví dụ ta có x−3y+3=0 là phương trình đường phân giác trong của góc Aˆ

Xét trường hợp hình thang ABDC có AC∥BD

Vì có AC||BD nên ta lấy véc-tơ pháp tuyến của AC : vecto(n) AC(−5;15) làm véc-tơ pháp tuyến của BD

Có véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng BD và toạ độ điểm B(−4;3) ta viết được phương trình đoạn BD :

BD: x−3y+13=0

Mà D thuộc đường phân giác trong của góc Aˆ và lại thuộc đường thẳng đi qua B nên tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình:

{x−y+3=0

x−3y+13=0

⇔{x=2

y=5

Suy ra toạ độ của D là (2;5)

Xét trường hợp hình thang ADBC có AB∥CD

Làm tương tự ta có toạ độ D là (14;17)

Vậy để ACBD là hình thang thì D phải có toạ độ là (2;5) hoặc (14;17)

Tính chất đường phân giác của hai góc kề bù

Tính chất: Trong toán học hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

Ví dụ:

Ta có Oz và Ox là hai tia đối nhau. Hai góc xOyˆ và yOzˆ là hai góc kề bù.

Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc xOyˆ và yOzˆ.

Theo tính chất ta có Om⊥On

Tính chất đường phân giác
Tính chất đường phân giác

Chứng minh tính chất đường phân giác của hai góc kề bù:

Ta có:

mOyˆ=12xOyˆ(gt)

yOnˆ=12yOzˆ(gt)

Vì tia Oy nằm giữa hai tia Om;On cho nên:

mOnˆ=mOyˆ+yOnˆ

=12xOyˆ+yOzˆ=12(xOyˆ+yOzˆ)

=12.180∘=90∘

Suy ra Om⊥On

Tính chất phân giác ngoài trong toán học

Định nghĩa phân giác ngoài của tam giác

Ví dụ: Trong tam giác ΔABC , kéo dài cạnh AB về phía A lấy một điểm D bất kì. Ta có hai góc kề bù nhau là góc BACˆ và góc DACˆ . Kẻ phân giác của góc DACˆ ta đc phân giác đó là phân giác ngoài của tam giác tương ứng với đỉnh A . Tương tự với hai góc còn lại ta được phân giác ngoài của tam giác ứng với hai đỉnh còn lại.

Giả sử phân giác ngoài tương ứng với đỉnh A của tam giác ΔABC cắt đường thẳng BC ở điểm E . Ta có AE là phân giác ngoài của tam giác ΔABC tương ứng với đỉnh A.

Lấy AF là phân giác của góc BACˆ , F∈BC , ta còn gọi AF là đường phân giác trong của tam giác ΔABC .

Tính chất phân giác ngoài của tam giác

Tính chất: Hai đường phân giác ngoài và phân giác trong của một tam giác tương ứng với cùng một đỉnh thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Trong tam giác ΔABC có AE và AF lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong ứng với đỉnh A với E;F∈BC . Theo tính chất ta có AE∈AF

Chứng minh: Sử dụng tính chất hai đường phân giác của hai góc kề bù với BACˆ và BADˆ là hai góc kề bù.

Các dạng toán về tia phân giác của góc

Dạng 1: Nhận biết tia phân giác của một góc

Phương pháp giải:

Vận dụng định nghĩa tia phân giác của một góc. Để chứng tỏ tia Oz la tia phân giác của góc xOyˆ phải có đủ hai điều kiện :

Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy (hoặc xOyˆ=xOzˆ+yOzˆ ).

xOzˆ=yOzˆ

Ví dụ 1. (Bài 30 tr. 87 SGK)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , vẽ tia Ot , Oy sao cho xOtˆ=25∘ , xOyˆ=50∘ .

a) Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy không?

b) So sánh góc tOyˆ và góc xOtˆ .

c) Tia Ot có là tia phân giác của góc xOyˆ không ? Vì sao ?

Cách giải:

a) Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy (1) vì các tia Ot,Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và xOtˆ<xOyˆ

b) Tia Ot nằm giữa hai tia Ox;Oy nên : xOtˆ+tOyˆ=xOyˆ,dođó[latex]25∘+tOyˆ=50∘ suy ra tOyˆ=50∘–25∘=25∘

Vậy tOyˆ=xOtˆ (2).

c) Từ (1) và (2) suy ra tia Ot là tia phân giác của xOyˆ .

Dạng 2: Tính số đo góc trong tam giác

Phương pháp giải

Dựa và nhận xét : Số đo của góc tạo bởi tia phân giác với mỗi cạnh của góc bằng nửa số đo của góc đó.

Ví dụ 1: (Bài 36 tr. 87 SGK)

Cho hai tia Oy;Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox . Biết xOyˆ=30∘ , xOzˆ=80∘

Vẽ tia phân giác Om của xOyˆ . Vẽ tia phân giác On của yOzˆ . Tính mOnˆ .

Cách giải:

Hai tia Oy,Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox mà xOyˆ<xOzˆ (30∘<80∘ ) nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox,Oz do đó xOyˆ+yOzˆ=xOzˆ , suy ra yOzˆ=xOzˆ–xOyˆ=80∘–30∘=50∘

Tia Oy nằm giữa hai tia Ox,Oz ; tia Om nằm giữa hai tia Ox,Oy , tia On nằm giữa hai tia Oz;Oy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om,On do đó mOnˆ=mOyˆ+yOnˆ=30∘2+50∘2=40∘

Tính chất đường phân giác
Tính chất đường phân giác

Dạng 3: Tìm tia phân giác của một góc

Phương pháp giải

Xét từng tia, chọn tia nào thỏa mãn định nghĩa tia phân giác của một góc.

Ví dụ 1. Tìm trên hình những tia là tia phân giác biết rằng O1ˆ=O2ˆ=O3ˆ=O4ˆ

Hướng dẫn:

OB là tia phân giác của góc AOCˆ ;

OC là tia phân giác của góc BODˆ và AOEˆ ;

OD là tia phân giác của góc COEˆ .

Luyện tập về tính chất đường phân giác của góc

Bài 1: Cho góc xOyˆ có số đo bằng 80∘ . Vẽ tia Om nằm giữa hai tia Ox,Oy sao cho xOmˆ=40∘ . Tia Om có là tia phân giác của góc xOyˆ không ? Vì sao ?

Bài 2: Cho hai góc kề bù xOtˆ và yOtˆ , trong đó xOtˆ=50∘ . Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Ot ta vẽ tia Oz sao cho yOzˆ=80∘ . Tia Ot có là tia phân giác của góc xOzˆ không ? Vì sao ?

Bài 3: Cho hai góc kề AOBˆ và BOCˆ . Biết số đo của mỗi góc đều bằng 120∘ . Hỏi tia OB có là tia phân giác của góc AOCˆ không ? Vì sao ?

Bài 4: Cho góc bẹt AODˆ . Trên nửa mặt phẳng bờ AD ta vẽ các tia OB;OC sao cho AOBˆ=60∘;AOCˆ=120∘ . Trên hình vẽ, tia nào là tia phân giác của một góc ?

Bài 5: Cho hai góc kề bù AOBˆ và BOCˆ . Vẽ tia phân giác OM của góc BOCˆ . Giả sử AOBˆ gấp đôi BOCˆ, tính AOMˆ

Tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất 1: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ΔABC (hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại I (I là giao điểm 3 đường phân giác). Khi đó:

A1ˆ=A2ˆ

B1ˆ=B2ˆ

C1ˆ=C2ˆ

ID=IE=IF

Vừa rồi chúng ta vừa tìm hiểu về định lí ba đường phân giác trong tam giác. Sau đây chúng ta hãy khám phá xem với các trường hợp tam giác đặc biệt thì có các tính chất nào nhé!

Tính chất 2: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ: Cho tam giác ΔABC (hình vẽ) có AD là đường phân giác ứng với đỉnh A với D∈BC

Theo tính chất 2 ta có DB/DC=AB/AC

Tính chất 3: Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy

Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại 1 đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng.

Ví dụ: Ta có tam giác ΔABC có AD và AE lần lượt là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài ứng với góc Aˆ

Ta có DB/DC=EB/EC=AB/AC

Một số dạng bài tập áp dụng tính chất đường phân giác

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, chu vi, diện tích

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tỉ lệ thức để biến đổi và tính toán.

  • Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ 1: Hãy chọn câu đúng. Tỉ số xy của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết các số trên hình cùng đơn vị đo là cm :

  • 7/15
  • 1/7
  • 15/7
  • 1/15

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức hình học và các bài toán khác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác: “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hoai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”

Ví dụ 1: Cho ΔABC ; AE là phân giác ngoài của góc Aˆ . Hãy chọn câu đúng:

AB/AE=BE/CE

AE/AC=BE/CE

AB/AC=CE/BE

AB/AC=BE/CE

Công thức đường phân giác trong tam giác

Cho tam giác ΔABC nhọn có đường phân giác trong AD.Tacócôngthứctínhđộdàiđườngphângiáctrong[latex]ADtheobacạnh[latex]AB;AC và góc Aˆ :

AD=2.AB.AC.cosA2AB+AC

Chứng minh công thức:

SΔABD+SΔACD=SΔABC

⇔1/2AB.AD.sinA^2+12.AD.AC.sinA^2=1/2.AB.AC.sinA

⇔1/2.AD.sinA2(AB+AC)=1/2.AB.AC.2.sinA^2.cosA^2

⇔AD=2.AB.AC.cosA^2AB+AC

Tính chất đường phân giác
Tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác trong tam giác đặc biệt

Định lí: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Đồng thời cũng là đường cao ứng với đỉnh đó.

Ví dụ:

Cho tam giác ΔABC (hình vẽ) cân tại A (AB=AC ) và AD là đường phân giác tương ứng với đỉnh A (A1ˆ=A2ˆ )

Ta có BD=BC và AD⊥BC

Chứng minh:

  • Ta có AB=AC , AD chung và A1ˆ=A2ˆ
  • suy ra ΔBAD=ΔCAD(c.g.c)
  • từ đó tương ứng ta có BD=CD nên AD là đường trung tuyến của tam giác ΔABC.
  • Ngoài ra do ΔBAD=ΔCAD(c.g.c) nên ADBˆ=ADCˆ
  • mặt khác ADBˆ+ADCˆ=180∘
  • nên ADBˆ=ADCˆ=90∘
  • Vì vậy AD⊥BC

Các dạng toán thường gặp về đường phân giác trong tam giác

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất:

Ta sử dụng định lý: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.

Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Dạng 3: Chứng minh tia phân giác của một góc

Phương pháp:

Ta sử dụng một trong các cách sau:

Sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Sử dụng định nghĩa phân giác.

Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau.

Dạng 4: Bài toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt

Đây là dạng toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều…

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Bài toán cách chứng minh tia phân giác

Để chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xOyˆ trong mặt phẳng các bạn có thể sử dụng một trong 8 cách sau đây:

Chứng minh tia Oz nằm giữa tia Ox;Oy và xOzˆ=yOzˆ

Chứng minh xOzˆ=12xOyˆ hay yOzˆ=12xOyˆ

Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox và Oy

  • Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.
  • Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác.
  • Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông.
  • Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.
  • Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Vừa rồi chúng ta đã làm quen với những khái niệm cơ bản về góc nói chung và đường phân giác của góc cũng như của tam giác nói chung. Các bạn hãy đọc lại bài thật kĩ và luyện tập thông qua một số bài tập sau đây nhé!.

Bài tập tự luyện tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1: Cho tam giác tam giác δABC với AB=c ; AC=b ; BC=a . Kẻ tia phân giác AD của góc Aˆ .

Tính độ dài các đoạn thẳng BD;CD

Đường thẳng song song với AC , kẻ từ D , cắt cạnh AB tại điểm E . Tính BE;AE và DE .

Cách giải:

Ta có, theo định lí về tính chất của đường phân giác

DBDC=ABAC⇒DBDC=cb⇒DBDB+DC=cb+c

⇒DBBC=cb+c⇒DB=acb+c

Tương tự ta có: DC=abb+c

2. Ta có DE∥AC nên:

BEBA=BDBC⇒BEc=cb+c

⇒BE=c2b+c

Tương tự ta có ⇒AE=bcb+c

AD là phân giác góc Aˆ nên A1ˆ=A2ˆ

Ta có DE∥AC nên: Dˆ=A1ˆ

⇒ΔAED cân tại E cho ta DE=AE=bcb+c

Bài 2: Cho tam giác tam giác δABC có cạnh BC cố định ; đỉnh A thay đổi nhưng tỉ số ABAC=k , với k là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh A cắt cạnh BC và cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm D;E .

Chứng minh rằng D;E là hai điểm cố định.

Tìm quỹ tích điểm A

Cách giải:

Ta có theo định lí về tính chất của đường phân giác ta có:

DBDC=ABAC=k

EBEC=ABAC=k

Các tỉ số DBDC và EBEC bằng k không đổi; hai điểm B và C cố định, suy ra hai điểm D và E chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định BC theo một tỉ số không đổi nên D và [/latex] E [/latex] là hai điểm cố định.

2. AD và AE là các tia phân giác của hai góc kề bù vì vậy:

AD⊥AE⇒DAEˆ=90∘

Điểm A nhìn đoạn thẳng cố định DE dưới một góc vuông. Vì vậy quỹ tích điểm A là đường tròn đường kính DE (có tâm là trung điểm I của đoạn thẳng DE và bán kính là DE2 )

Bài 3: Cho tam giác δABC, kẻ tia phân giác AD . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BD và trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF=CD

Chứng minh EF∥BC

Chứng minh ED là phân giác của góc BEFˆ và FD là phân giác của góc CFEˆ

Cách giải:

Ta có AD là phân giác của góc Aˆ nên:

BDCD=ABAC

Theo giả thiết ta có BE=BD và CF=CD nên ta được:

EBFC=ABAC⇒EBAB=FCAC

Theo định lí Talet ta suy ra EF∥BC

2. ΔDBE cân ⇒E1ˆ=D1ˆ

EF∥BC⇒D1ˆ=E2ˆ⇒E1ˆ=E2ˆ

⇒ED là tia phân giác của góc BEFˆ

Trường hợp còn lại, chứng minh tương tự (hoặc có thể nhân xét, D là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác δAEF .

Như vậy thông qua bài viết trên, DINHNGHIA.VN hi vọng đã giúp các bạn, đặc biệt là các em học sinh có một cái nhìn chung nhất về các khái niệm và tính chất đường phân giác của góc, cũng như đường phân giác trong tam giác. Các bạn hãy đọc kĩ để nắm vững lí thuyết sau đó hãy luyện tập thông qua các bài tập ở cuối bài viết nhé!. Nếu có bất cứ thắc mắc, câu hỏi hay đóng góp gì liên quan đến chủ đề tính chất đường phân giác của tam giác, đừng quên để lại ở nhận xét bên dưới nhé. Chúc các bạn học tập thật tốt!

Leave a Reply

Your email address will not be published.